Funciones de utilidad dinámicas anidadas/recurrentes

Question

Quiero encontrar una forma de representar una función de utilidad dinástica en la que no sólo la utilidad del jefe de la dinastía dependa de la utilidad de sus descendientes, sino que todos los miembros del árbol genealógico obtengan utilidad de la utilidad de algunos de sus descendientes. En concreto, me gustaría que la utilidad total de una persona $U_{x_{i}}=u(x_i)+u(x_{i+1}) + u(x_{i+2})$ para todos $i$ en la dinastía, donde ' $u(x_{i})$ ' denota la utilidad de $x_i$ que no depende de la utilidad de los hijos y los nietos ("utilidad no parental"). Por lo tanto, quiero un modelo que nos permita decir que la utilidad del jefe de la dinastía es en parte función de la utilidad de sus hijos y nietos, pero que la utilidad de sus hijos es también en parte función de la utilidad de sus nietos y bisnietos, y así sucesivamente.

En el modelo de Becker y Barro, tenemos que \begin{equation} U_{x_0}=\sum_{i=0}^{n}N_i \beta_i(u(x_i)). \end{equation} ,

donde $N$ es el número de descendientes en una generación $i$ y $\beta$ es una tasa de descuento altruista intergeneracional. El problema de este modelo es que carece de la característica "anidada" o "recursiva" explicada anteriormente: simplemente afirma que el jefe de la dinastía obtiene la utilidad de la utilidad de sus descendientes sin tener en cuenta que la utilidad de sus descendientes puede depender a su vez de su utilidad de los descendientes.

Añadiendo el elemento del descuento, permítanme dar un ejemplo concreto: supongamos que yo, como cabeza de dinastía ( $x_0$ ), recibo directamente el 50% de la utilidad de todos mis hijos (i=1) y el 25% de la utilidad de mis nietos (i=2). Digamos que no recibo directamente ninguna utilidad de la utilidad de mis bisnietos. Pero indirectamente recibir la utilidad de mis bisnietos ya que mis hijos reciben el 25% de su utilidad y mis nietos el 50%. Si suponemos para simplificar que mi hijo tuvo un hijo, que a su vez tuvo un hijo, que a su vez tuvo un hijo $u(x_3)=1$ entonces, indirectamente, gano $50\%*25\%*1 + 25\%*50\%*1$ = 0,25 utilidades de mi bisnieto. ¿Cómo puedo obtener una expresión general para este fenómeno que sea válida para $n$ ¿Generaciones?

Cualquier sugerencia o indicación se agradece enormemente.

Answer 1

Aquí hay dos bonitos artículos sobre las funciones de utilidad recursivas, una generalización de las funciones de utilidad aditivas y compatibles con que "la utilidad del jefe dinástico sea en parte una función de la utilidad de sus hijos y de la utilidad de sus nietos, pero donde la utilidad de sus hijos es de nuevo en parte una función de la utilidad de sus nietos y bisnietos, y así sucesivamente":

Blackorby, C., Nissen, D., Primont, D., & Russell, R. (1973). Consistent Intertemporal Decision Making. The Review of Economic Studies, 40(2), 239-248.
Blackorby, C., Nissen, D., Primont, D., & Russell, R. (1974). Recursive Decentralized Decision Making. Econometrica, 42(3), 487-496.

Answer 2

Dejemos que $\delta_i=N_i\beta_i$ . Creo que lo que quieres es para la generación $i$ de la utilidad de la empresa para ser algo así como: \begin{equation} U_i=u(x_i)+\delta_{i+1}U_{i+1}+\cdots+\delta_{i+n}U_{i+n}, \end{equation} donde $i$ obtiene utilidad de su propio consumo $u(x_i)$ así como de las utilidades de sus descendientes, $U_{i+t}$ para $t=1,\dots,n$ sobre su propio consumo y las utilidades de sus descendientes. Se puede intentar expandir la expresión anterior de forma recursiva para obtener una forma que sólo implique $u$ y $\delta_i$ 's. Sin embargo, eso va a ser complicado, principalmente por los factores de descuento.

Si estás dispuesto a asumir un factor de descuento constante, es decir $\delta_{i+t}=\delta^t$ para que \begin{equation} U_i=u(x_i)+\delta U_{i+1}+\cdots+\delta^n U_{i+n}, \end{equation} entonces las cosas se vuelven más manejables. En particular, con $n=2$ (es decir, uno sólo se preocupa por dos generaciones más adelante) y dejar $v_i=u(x_i)$ para simplificar la anotación, se obtiene \begin{align} U_i=v_i+\delta v_{i+1}+2\delta^2 v_{i+2}+3\delta^3v_{i+3}+5\delta^4v_{i+4}+8\delta^5v_5+\cdots = \sum_{t=0}^\infty F_{t+1}\delta^t v_{i+t}, \end{align} donde el $F_{t+1}$ son los Números de Fibonacci .