La explicación de Piketty sobre la elasticidad de sustitución (de su libro El capital en el siglo XXI)

Question

Tengo algunos problemas para seguir la explicación de la elasticidad de sustitución entre el capital y el trabajo y sus implicaciones en la p189.

Toma esta parte:

La cuestión relevante es si la elasticidad de sustitución entre el trabajo y el capital es mayor o menor que uno. Si la elasticidad se sitúa entre cero y uno, entonces un aumento de la de la relación capital/ingreso conduce a una disminución de la productividad marginal del capital lo suficientemente grande como para que la cuota de capital = r productividad marginal del capital lo suficientemente grande como para que la cuota de capital = r × disminuye (suponiendo que el rendimiento del capital está determinado por su productividad marginal).

En concreto, cuando habla de esa elasticidad, ¿se refiere a algo así como (dL/L)/(dK/K) con L para el trabajo y K para el capital? Suponiendo eso, ¿cómo se traduce exactamente una mayor elasticidad en una menor caída del producto marginal del capital?

Gracias

Answer 1

Lo siguiente es de Thomas Piketty y Gabriel Zucman (2015, De Handbook of Income Distribution, Volume 2, Chapter 15, Part 15.5.3 que es difícil de enlazar directamente pero consíguelo aquí ):

Tomemos una función de producción CES $$Y=F(K,L)=(aK^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+(1a)L^{\frac{\sigma-1}{\sigma}})^{\frac{\sigma}{1-\sigma}}$$

A mí: $\sigma$ es la elasticidad de sustitución. Aquí tienen un pequeño error tipográfico con el exponente externo de $\frac{\sigma-1}{\sigma}$ en lugar de $\frac{\sigma}{1-\sigma}$ pero estoy bastante seguro de que está mal, así que lo he corregido aquí. No cambia el resto de lo que estoy haciendo.

Volviendo a Piketty y Zucman:

La tasa de rendimiento viene dada por $$r = F_{K} = a \cdot \beta^{\frac{-1}{\sigma}}$$ con $\beta = K/Y$ .

La cuota de capital viene dada por $$ \alpha = r\cdot\beta = a\cdot\beta^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}$$

Yo: Ahora toma la derivada parcial de $\alpha$ con respecto a $\beta$ $$ \frac{\partial \alpha}{\partial \beta} = a \cdot (1-1/\sigma) \cdot \beta ^{-1/\sigma}$$

Por suposición $a$ es siempre positivo. Porque $K$ y $Y$ son siempre positivos por lo que es $\beta ^{-1/\sigma}$ . Eso significa que el signo de $\alpha$ es el signo de $1-1/\sigma$ . Para $0<\sigma<1$ puede ver que $1-1/\sigma < 0$ y por lo tanto $$\frac{\partial \alpha}{\partial \beta} < 0$$ .