Explicación intuitiva de $S(p,w)\cdot p=0$

Question

¿Alguien puede dar una explicación intuitiva de por qué la matriz de Slutsky derecha multiplicada por el vector de precios arroja una matriz cero?

Sé que esto es cierto, pero no entiendo muy bien por qué lo es. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Esta es una propiedad matemática general de la segunda derivada/matriz hessiana de las funciones multivariantes que son homogéneas de grado uno.

La función de gastos $E$ es homogénea de grado uno en los precios. ¿Por qué? Si todos los precios cambian en la misma proporción (que es como comprobamos la propiedad matemática de la homogeneidad), relativa los precios no cambian. Si los precios relativos no cambian, la composición cuantitativa del paquete de consumo compensado de coste mínimo para conseguir una utilidad determinada no cambia en absoluto . Entonces, como todos los precios han aumentado en la misma proporción, las cuotas presupuestarias siguen siendo las mismas, y el Gasto necesario para conseguir la misma utilidad, aumenta en esa misma proporción: homogeneidad de grado uno.

Por dualidad, el vector de demanda hicksiano es el gradiente de la función de gasto, $H = \nabla_p E$ .

El vector de demanda hicksiano, nos da las cantidades mínimas demandadas. Debido a la homogeneidad de grado uno de la función de gasto, el producto interior del vector de demanda hicksiano por el vector de precios es igual a la función de gasto. Esto también debería ser intuitivo: simplemente multiplicamos cada cantidad demandada por el precio unitario que hay que pagar por ella, y sumando estos productos obtenemos el Gasto total en el que debemos incurrir para adquirir el paquete de coste mínimo para una utilidad dada.

Así que tenemos (simplificando la notación de diferenciación) $ E = H\cdot p$ mientras que también $\frac {\partial}{\partial p}E = H$ . Por lo tanto, también

$$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$$

y debe ser el caso que

$$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$$

Por tanto, el vector de demanda hicksiano es homogéneo de grado cero en los precios (matemáticamente, esto es una consecuencia del teorema de Euler para funciones homogéneas, es decir, que si una función es homogénea con grado de homogeneidad $k$ su gradiente tiene grado de homogeneidad $k-1$ ).

Pero la primera derivada (jacobiano) de la demanda hicksiana (que es la matriz hessiana de las segundas derivadas de la función de gasto) es la matriz de Slutsky, $\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ . Así que $S(w,p) \cdot p = 0$ .

Así que el resultado se deriva de la homogeneidad de grado uno de la función de gasto. ¿Existe una explicación intuitiva, análoga a la intuición de la homogeneidad de grado uno de la función de gasto? Pues bien, la primera viene directamente de esta última, por lo que es difícil dar un argumento intuitivo "independiente". Se podría decir informalmente que las cantidades demandadas compensadas son "independientes" de (no se ven afectadas por) la variación de los precios cuando los precios relativos permanecen iguales. Entonces, en términos geométricos, esto significa que los vectores de tasas de variación de las cantidades compensadas demandadas (que es lo que contiene cada fila de la matriz de Slutsky), son ortogonal al vector de precios.

Answer 2

No sé si considerará esto como una explicación, o más bien como una prueba.

Lo que entendemos mejor por el cálculo univariante es la aproximación de Taylor de primer orden, es decir, una función que satisface algunas condiciones de regularidad puede ser bien aproximada por una función lineal en un punto. Digamos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , y luego alrededor de $p^\ast$ (es decir, cuando $\delta$ es pequeño) $$ f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast} $$

Ahora, podemos hacer algo similar para las funciones multivariables. Si $h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ entonces $$ h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast} $$

Ahora, debería ser evidente que cuando multiplicamos todos los precios por el mismo número, la demanda hicksiana no cambia. Así que digamos que aumentamos los precios de $\mathbf{p^\ast}$ a $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ . Así que cada precio ${p_j^\ast}$ cambia proporcionalmente a la cantidad de $\Delta \times {p_j^\ast}$ . No deberíamos ver ningún cambio en el valor de $h_i$ anterior si sustituimos $\delta$ con $\Delta \mathbf{p^\ast}$ . Entonces debe ser cierto que los términos adicionales, incluyendo las derivadas parciales, sumarían 0, lo que básicamente resulta en su $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Dicho de otro modo, dado que la demanda hicksiana de cualquier bien no responde a un cambio en los precios que mantenga los precios relativos iguales, entonces si observamos el total de los efectos individuales de estos cambios de precios en un bien, deberíamos observar un cambio 0.

Answer 3

Supongo que ya conoces la respuesta dada en Mas-Colell, esta propiedad tiene que ver con la no ilusión por el dinero en realidad (bajo algunas condiciones de regularidad) es si y solo si con la propiedad de la demanda $x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ . Ahora, es trivial demostrar que esto significa que $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ , según la ley de Walras $p'x(p,w)=w$ o de forma equivalente $x(p,w)'p=w$ sustituyéndolo en la primera expresión se obtiene $S(p,w)p=0$ . Podemos ir en la dirección contraria utilizando la integración. En otras palabras, creo que la intuición robusta es que su consumidor no sufre la ilusión del dinero. Nótese que el consumidor puede no ser racional, pero al menos no estará sujeto a este sesgo de comportamiento.