Problema de Ito multivariante $M_t=\frac{X_t}{Y_t}$

Question

Estoy analizando un problema dado en las diapositivas de la conferencia publicada aquí (Diapositiva 7-8 Ejemplo del lema de Ito multivariante) .

¿Puede alguien explicar cómo el $M_t$ se calculó a partir de la fórmula de Ito. No puedo obtener los mismos resultados.

Resumen del problema: Hay dos procesos de Ito dados:

$$\frac{dX_t}{X_t}=\mu_{x} dt + \sigma_{x} dZ^{1}_{t} \quad \quad (1)$$

$$\frac{dY_t}{Y_t}=\mu_{y} dt + \sigma_{y} dZ^{2}_{t} \quad \quad (2)$$

para que $M_t=\frac{X_t}{Y_t}$ y la volatilidad instantánea de $\frac{dM_t}{M_t}$ necesita ser encontrado.

Aplicando el lema de Ito a la función $M_t = f(X_t,Y_t) = X_t/Y_t$ da

$$dM_t=\frac{\partial f(X_t,Y_t)}{\partial X_t} dX_t + \frac{\partial f(X_t,Y_t)}{\partial Y_t} dY_t + \frac{1}{2} \left(\frac{\partial^2 f(X_t,Y_t)}{\partial X_t^2} (dX_t)^2+ 2 \frac{\partial^2 f(X_t,Y_t)}{\partial X_t \partial Y_t} dX_t \ dY_t + \frac{\partial^2 f(X_t,Y_t)}{\partial Y_t^2}(dY_t)^2 \right) \quad \quad (3)$$
Esto debería dar como resultado algo así:

$$dM_t=M_t \big{(} \mu_x + \mu_y - \rho \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 \big{)} \ dt + M_t \sigma_x dZ_t^1 - M_t \sigma_y dZ_t^2 \quad \quad (4)$$

$$\frac{dM_t}{M_t}= \big{(} \mu_x + \mu_y - \rho \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 \big{)} \ dt + \sigma_x dZ_t^1 - \sigma_y dZ_t^2 \quad \quad (5)$$

Introduciendo las derivadas parciales en la ec(3)

$$\frac{\partial f}{\partial X_t}=\frac{1}{Y_t}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial Y_t}=\frac{-X_t}{Y_t^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial Y_t^2}=\frac{2 X_t}{Y_t^3}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial X_t \partial Y_t}=\frac{-1}{Y_t^2}$$

y sustituyendo con (1) y (2) debería darme la ecuación (4) o (5), pero no lo consigo, estoy obteniendo algo como

$$\frac{dM_t}{M_t} = \frac{dX_t}{X_t} - \frac{1}{2} \frac{dy}{y} X_t - \frac{1}{2} \frac{dy}{y} X_t dx \quad \quad (6)$$

¿Puede alguien explicar la transición final para el $\frac{dM_t}{M_t}$ ¿Ecuación?

Answer 1

Lo que está escrito en las diapositivas adjuntas es correcto.

Sin embargo, lo que ha escrito no es correcto.

Configuración $M_t=\frac{X_t}{Y_t}$ y aplicando la fórmula de Ito se llega a :

$$dM_t=\frac{dX_t}{X_t} M_t -\frac{dY_t}{Y_t} M_t + M_t \frac{d<Y>_t}{Y^2_t}-\frac{d<X,Y>_t}{Y^2_t}$$

que le da en su caso :

$$dM_t = (\mu_x dt+\sigma_x dZ^1_t)M_t - (\mu_y dt+\sigma_y dZ^2_t)M_t+M_t\sigma^2_y dt - \frac{\rho \sigma_x X_t \sigma_y Y_t dt}{Y_t^2}$$

que te lleva después de la simplificación a :

$$\frac{dM_t}{M_t} = (\mu_x -\mu_y -\rho\sigma_x\sigma_y +\sigma_y^2) dt + \sigma_x dZ^1_t - \sigma_y dZ^2_t$$

Answer 2

Encontré el problema, las derivadas parciales fueron derivadas incorrectamente.

$$dM_t = \frac{1}{Y_t} dX_t - \frac{-X_t}{Y_t^2} dY_t + \frac{-1}{Y_t^2} dX_t dY_t + \frac{X_t}{Y_t^2} dY_t \quad / : \frac{Y_t}{X_t} \quad \quad (6)$$

$$\frac{dM_t}{M_t} = \frac{dX_t}{X_t} - \frac{dY_t}{Y_t} - \frac{dX_t dY_t}{X_t Y_t} + \frac{(dY_t)^2}{(Y_t)^2} \quad \quad \quad (7)$$

después de sustituir con (1) y (2) y hacer todo el álgebra obtengo la ecuación final correcta

$$\frac{dM_t}{M_t}= \big{(} \mu_x + \mu_y - \rho \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 \big{)} \ dt + \sigma_x dZ_t^1 - \sigma_y dZ_t^2 \quad \quad (5)$$