$a\geq 0$ , $x\sim y$ implica $x+a\sim y+a$ ¿entonces la preferencia es lineal?

Question

$\succsim$ es un orden débil contínuo y convexo.

$x,y,a$ son vectores en $\mathbb R^n$

Nosotros decimos $a\geq0$ si todas las direcciones del vector $a$ es mayor o igual a cero.

Queremos demostrar (o refutar por contraejemplo) que:

Supongamos que $x\sim y$ implica $x+a\sim y+a$ para cualquier $a\geq0$ y $x,y\in\mathbb R^n$ ,

Entonces la preferencia es lineal.

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Una definición de preferencia lineal es que $x\sim y$ implica $x+a\sim y+a$ para cualquier $x,y,a$ .

Answer 1

Esto no es cierto.

Dejemos que $n=1$ y definir $u(x)=\min{\{x,0\}}$ . Sea $\succsim$ sea la relación de preferencia representada por $u$ . Esta relación de preferencia es continua y convexa. También tenemos $x\sim y$ implica $x+a\sim y+a$ para cualquier $a\geq0$ y $x,y\in\mathbb R$ . Pero dejemos $x=0$ , $y=1$ y $a=-1$ . Entonces $x\sim y$ pero $y+a=0\succ -1=x+a$ Por lo tanto $x+a\nsim y+a$ y $\succsim$ no es lineal.