¿Cómo se estima el siguiente modelo?

Question

Supongamos que tengo el siguiente modelo:

$$r_t=\sigma_t * \epsilon_t$$

donde $r_t$ es el rendimiento en el momento t, $\sigma_t$ es la volatilidad, el modelo utilizado para modelar esta volatilidad es una media móvil ponderada exponencialmente con parámetro conocido $\lambda$ . $\epsilon_t$ es una variable aleatoria distribuida según la distribución hiperbólica con parámetros $\alpha, \beta , \mu, \delta$ .

Primera pregunta: ¿Cómo puedo estimar este modelo?

Yo

1. Desde $\lambda$ es conocido, calcule el $\hat{\sigma}_t$ .
2. Calcular $r_t/\hat{\sigma}_t$ que dan los llamados residuos estandarizados.
3. Utilizando los residuos estandarizados estimar los parámetros de la distribución hiperbólica con ML clásico.

O

1. Incluya el $\hat{\sigma}_t$ en la log-verosimilitud de la distribución hiperbólica y maximizarla, por lo que podría llamarse una estimación "conjunta". Dado que no se hace la ML normal, sino la ML con la estimación $\sigma$ incluido.

Segunda pregunta: Supongamos que la volatilidad está modelada por un proceso ARCH.

¿Tengo que utilizar un paquete R que estime todos los parámetros conjuntamente, de modo que la salida me dé los valores del proceso ARCH Y los valores de la distribución hiperbólica?

¿O puedo utilizar un comando ARCH "normal" (que asumirá el $\epsilon$ para ser N(0,1) distribuido (supongo) calcular el $\sigma$ . A continuación, al igual que en el caso anterior, calcule los residuos estandarizados calculando $r_t/\sigma_t$ y usarlos para estimar una distribución hiperbólica usando ML. ¿Qué opinas de este enfoque "dividido"?

Answer 1

Yo sugeriría escribir la densidad conjunta como el producto de las densidades condicionales y luego estimar los parámetros utilizando un paquete de optimización.

La densidad conjunta viene dada por

$$f(r_0, \ldots, r_T) = f(r_0) \prod_{t=1}^T f(r_t|r_0, \ldots, r_{t-1})$$

entonces la función de probabilidad logarítmica es

$$L = \log(f(r_0)) + \sum_{t=1}^T \log(f(r_t | r_0, \ldots, r_{t-1}) )$$

Puede tener algunos problemas al intentar optimizar esta función debido al número de parámetros en sus errores hiperbólicos. Estos parámetros pueden compartir bastante información y dar lugar a superficies de probabilidad muy planas que convergen lentamente. Esto ocurre con frecuencia con la distribución T del estudiante cuando se hace una estimación conjunta de $\sigma$ y $\nu$ parámetros.

Ver página 17 de Ruey S Tsay Análisis de Series Temporales Financieras (2ª Ed) para otra discusión igualmente breve con la distribución normal como ejemplo

Answer 2

Su modelo es erróneo, no hay errores de innovación en los modelos EWMA. De hecho, el modelo EWMA pertenece a la clase de estimadores de media móvil. Entonces para obtener $\sigma_{t}$ sólo necesitas $\lambda$ y $r_{t}$ : La volatilidad viene dada por : $\sigma =\sqrt{(1-\lambda)\sum_{t=1}^{T} \lambda^{t-1}(r_{t}-r)^{2}} $ .(observación: no hay subíndice $t$ asociado al término de volatilidad: es un incondicional proceso de volatilidad) . En términos generales, el EWMA nos permite calcular la varianza media a largo plazo.

Se basa en una modelo de retorno i.i.d. : obtenemos un subíndice $t$ después de la estimación porque el estimación cambiar a lo largo del tiempo, pero de hecho no existe un proceso de variación condicional.

La forma en que presentaste tu modelo es específica para modelos de tipo ARCH (proceso de varianza condicional) como :

condicional proceso medio : $r_{t} = \sigma_{t} \epsilon_{t}$

condicional proceso de desviación $\sigma_{t} =.... Garch,Figarch,Aparch...$

donde $\epsilon_{t}$ sigue una distribución específica.

Los modelos ARCH y de medias móviles son modelos "concurrentes" para estimar la volatilidad y las correlaciones, no se pueden aplicar simultáneamente.

Ps:Hasta donde yo sé, en la estimación MLE $\sigma_{t}$ se integra siempre en la función de verosimilitud.