Idea de utilizar el logaritmo para resolver la SDE en el modelo Black-Scholes

Question

En el modelo Black-Scholes consideran que la acción sigue esta ecuación diferencial estocástica: $$ dS = \mu S dt + \sigma S\ dW $$

Me preguntaba, ¿era común en el momento en que trabajan en esto usar $\log S$ con el lema de Itô para resolver este tipo de ecuación, o lo descubren?

O lo utilizan porque suponen desde el principio que era lognormal, entonces con aplicarlo obtendríamos :

$$ \begin{aligned} S_T = S_0 * \exp^{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma dW} \end{aligned} $$

Estoy un poco confundido sobre esto porque parece obvio aplicar $\log S$ cuando dan esta ecuación por ejemplo para simular las trayectorias con Monte-Carlo.

Answer 1

Black y Scholes (1973) no fueron los primeros en utilizar el movimiento browniano geométrico como modelo para los precios de las acciones. Por ejemplo, Samuelson lo hizo antes que ellos.

Todo comenzó con un movimiento browniano como modelo de comilla continua en tiempo más sencillo. Sin embargo, entonces el precio de las acciones se distribuye normalmente y puede ser negativo. No es una gran propiedad. Así que Samuelson exponenció el modelo y estudió un movimiento browniano geométrico, en el que los rendimientos logarítmicos se distribuyen normalmente. Pero, por supuesto, los investigadores de la época conocían muy bien el Lemma de Ito y cómo pasar de $\mathrm{d}S_t=\mu S_t \mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t$ a una solución explícita para $S_t$ .

A continuación se presenta una parte del documento seminal de Paul Samuelson de 1965 ( Teoría racional de la fijación de precios de los warrants )

Tenga en cuenta que todo esto se hizo antes de que las simulaciones de Montecarlo fueran una cosa en las finanzas. Por lo tanto, no tiene nada que ver con esto.