¿Por qué la probabilidad de que haya soluciones de esquina en las carteras aumenta a medida que crece el número de activos?

Question

Una cartera de tres activos no parece propensa a generar soluciones de esquina, que son asignaciones muy altas a uno de los activos y $0$ a los demás. En cambio, cuando el número de activos es bajo, estas pequeñas carteras están bastante diversificadas

Sin embargo, cuando el número de activos crece, el problema de las soluciones de esquina se hace más evidente, ya que, incluso cuando se optimizan 50 activos, no es raro que sólo uno de esos 50 reciba un peso de $100%$ por el modelo de media-varianza, mientras que los otros 49 obtienen $0$ .

¿Qué explica este salto masivo en el bombeo de soluciones de esquina del modelo de varianza media cuando $N$ es muy grande? ¿Y estoy en lo cierto al ver esto como algo malo ya que las soluciones de esquina implican un exceso de concentración/falta de diversificación

Answer 1

El origen del problema es doble:

• La dimensionalidad de las direcciones de la varianza es baja (la mayoría de las direcciones tienen una varianza cercana a 0)
• La optimización de la cartera es propensa a una matriz de covarianza inestable (que casi siempre es el caso)

Y ahora intentaré explicar lo que significa con más detalle y luego resumirlo en una afirmación sencilla e intuitiva:

• Si tienes una matriz de covarianza de la varianza $\Sigma$ El álgebra lineal nos permite encontrar una transformación de base a otros activos que ahora están descorrelacionados. $\Sigma = E^{'} \Lambda E$ . $\Lambda$ es entonces una matriz diagonal cuya diagonal es la de las varianzas de las carteras no correlacionadas, también llamada eigenvaleus $\lambda_i$ . En teoría, la idea es pasar de sus activos correlacionados a estas carteras no correlacionadas, hacer todo el análisis/optimización allí y luego volver a transformar. En la práctica, cuando el número de activos es mayor (piense en un índice bursátil, por ejemplo), sólo las primeras varianzas $\lambda_i^{1/2}$ muestran una diferencia significativa con respecto a 0. Estos representan los factores de mercado más significativos que comparten estas acciones. Suelen estar entre 2 y 7, aproximadamente. Estos valores propios corresponden a "dimensiones de varianza", lo que significa que todas las demás direcciones de varianza son insignificantes en comparación. A partir de esto, ya se puede sospechar que este hecho podría trasladarse al espacio de los activos de alguna manera.

• La solución básica del problema de optimización de la cartera sin restricciones es $w^{*} \approx \Sigma^{-1} \mu$ , donde $\approx$ significa hasta una constante que he olvidado ahora mismo. La parte importante es la $\Sigma^{-1}$ . Si recordamos la descomposición de valores propios de antes, casi todo $\lambda_i$ eran cercanas a 0. Sabemos que $\Lambda_i^{-1}$ se obtiene invirtiendo los elementos diagonales, $\lambda_i^{-1}$ . Si el $\lambda_i$ están cerca de $0$ , su $\Sigma^{-1}$ cambiará mucho si uno $\lambda_i$ cambios. Por lo tanto, las ponderaciones óptimas de los activos $w_i^{*}$ cambiará mucho.

Así que, por estas dos razones, muchos de sus activos tendrán perfiles de riesgo y correlación similares, lo que los convierte en intercambiable desde el punto de vista de los optimizadores. Si son intercambiables en los aspectos de varianza y correlación, el problema de optimización es fácil: poner todo en el activo con mayor rendimiento . Por eso se obtienen muchas soluciones de esquina.

Sin embargo, mi segundo punto muestra que estas soluciones de esquina no suelen ser estables en absoluto. El segundo el $\Sigma$ cambia un poco, la solución de la esquina puede cambiar completamente.

Hay muchos medios para evitarlo, pero estarían fuera del alcance de esta respuesta.