Argumento de cobertura Black--Scholes

Question

Estoy tratando de entender el argumento estándar de cobertura para derivar la EDP de Black--Scholes. Hay un aspecto de la derivación que no puedo pasar y estaría muy agradecido por alguna aclaración aquí.

Hacemos las suposiciones estándar: la subyacente sigue una BM geométrica, es decir $\text{d} S_t = \mu S_t \text{d}t + \sigma S_t \text{d}W_t$ y dejamos que $V(S_t,t)$ sea una opción emitida sobre este valor de manera que por el Lemma de Ito, tenemos:

$\text{d} V_t = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2_t \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right) \text{d}t + \left(\sigma S_t \frac{\partial V}{\partial S}\right) \text{d}W_t$

Todo bien hasta ahora. A continuación, configuramos una cartera que consiste en una sola opción y una cierta cantidad $\Delta(S_t,t)$ del subyacente cuyo valor viene dado por $\Pi_t = V_t + \Delta(S_t,t) S_t$ . Se supone entonces que esta cartera se autofinanciación es decir, que no hay entradas ni salidas de efectivo adicionales, formalizadas como $\text{d} \Pi_t = \text{d} V_t + \Delta(S_t,t) \text{d} S_t$ . A continuación, elegimos $\Delta(S_t,t) = - \frac{\partial V}{\partial S}$ y luego, sustituyendo esto en la fórmula anterior y utilizando la autofinanciación, obtenemos rápidamente un sin riesgo cartera y la EDP de Black--Scholes se deduce de ahí.

El punto que me confunde es que no tengo claro que podamos construir definitivamente una cartera que satisfaga $\Pi_t = V_t - \frac{\partial V}{\partial S} S_t$ que también debe satisfacer $\text{d} \Pi_t = \text{d} V_t - \frac{\partial V}{\partial S} \text{d} S_t$ . Todos los textos que he podido encontrar dan por sentado que se puede y se procede de la misma manera. Sin embargo, la existencia de dicha cartera implica que $\frac{\partial V}{\partial S} S_t = \int_0^t \frac{\partial V}{\partial S}(S_u,u) \text{d}S_u$ y no veo que esto sea necesariamente cierto, es decir, no veo cómo puede existir tal cartera ¿Qué es lo que me falta?

Lo interesante es que he seguido una derivación diferente de Black--Scholes en la que la cartera se compone, en cambio, de cierta cantidad del subyacente y de cierta cantidad de un instrumento sin riesgo $B_t$ es decir $\Pi_t = \alpha(S_t,t) S_t + \beta(S_t,t) B_t$ . Aquí elegimos $\alpha(S_t,t) = \frac{\partial V}{\partial S}$ como antes para eliminar el riesgo, pero esta vez la libertad en $\beta(S_t,t)$ parece significar que podemos garantizar la autofinanciación de la cartera y, por tanto, me parece bien esta versión del argumento.

Me gustaría entender ambos argumentos y saber en qué me estoy equivocando en el primero, así que cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Según la wikipedia uno elige $\pi_t=-V_t+\frac{\partial V}{\partial S}S_t$ . Esto significa, que usted está acortando $V$ y largo $\frac{\partial V}{\partial S}$ acciones de $S$ . La teoría general de las estrategias de autofinanciación supone que su mercado consiste en un $\mathbb{R}^{d+1}$ proceso $S$ con $d$ activos de riesgo y uno sin riesgo (cuenta bancaria). Una estrategia de negociación es entonces una función $\phi=(\vartheta,\eta)$ , donde $\vartheta$ es $\mathbb{R}^d$ -valorado y $\eta$ es de valor real. Por supuesto, hay que poner algunos supuestos adicionales en ambos. El proceso de valor general $V$ se define como $\vartheta S+\eta$ (nota que descontamos todo, por lo que la cuenta bancaria es constante $1$ ). La autofinanciación significa que los costes son constantes a lo largo del tiempo, cuando los costes $C_t(\phi)=V_t(\phi)-\int\vartheta_udS_u$ . Por tanto, autofinanciarse significa $C_t(\phi)=C_0(\phi)=V_0(\phi)$ para todos $t$ . El siguiente resultado es fácilmente verificable:

Existe una biyección entre las estrategias de autofinanciación y los pares $(V_0,\vartheta)$

Por lo tanto, basta con establecer la estrategia para su activo de riesgo y su cantidad de efectivo inicial para obtener una estrategia de autofinanciación. En su ejemplo, usted especifica exactamente la parte de riesgo de su activo, lo que conduce a una estrategia de autofinanciación.

Sin embargo, en mi opinión, hay una forma más elegante de derivar la EDP. Supongamos de forma muy general que su resultado es de la forma $H=h(S_T)$ , donde $h$ es una función medible. A partir de la fijación de precios neutrales al riesgo se sabe que el proceso de valor de $H$ viene dada por

$$V_t^H=E_Q[H|\mathcal{F}_t]$$

bajo una medida martingala local equivalente. Por lo tanto, $V^H$ es un $Q$ -martingale. Utilizando la independencia del movimiento browniano se puede encontrar fácilmente que $$V_t^H=E_Q[h(S_T)|\mathcal{F}_t]=v(t,S_t)$$ Se puede demostrar que la función $v$ es suficientemente suave. Aplicando Itô:

$$dV^H=dv=v_x(t,x)\sigma S_tdW^Q_t+(v_t(t,x)+\frac{1}{2}v_{xx}(t,x)\sigma^2S^2_t)dt$$

Para un $Q$ BM $W^Q$ y utilizando la dinámica bajo $Q$ de $S$ . Desde $V^H$ es un $Q$ martingala, la parte de la variación finita tiene que desaparecer, por lo que se obtiene

$$v_t(t,x)+\frac{1}{2}v_{xx}(t,x)\sigma^2x^2=0$$ con $v(T,\cdot)=h(\cdot)$ . Usando términos no descritos, $v(t,x)=\exp{(-rt)}\tilde{v}(t,x\exp{(rt)})$ Si se introduce esto en la EDP anterior, se obtiene exactamente la EDP-BS:

$$0=\frac{\partial\tilde{v}}{\partial t}+r\tilde{x}\frac{\partial\tilde{v}}{\partial \tilde{x}}+\frac{1}{2}\sigma^2\tilde{x}^2\frac{\partial^2\tilde{v}}{\partial \tilde{x}^2}-r\tilde{v}$$ con $\tilde{v}(T,\cdot)=\tilde{h}(\cdot)$ .

Por supuesto, esto utiliza mucho cálculo estocástico (básico), pero si se entiende una vez, lo que está pasando aquí, se obtiene una mejor sensación de la teoría.

Answer 2

Creo que el montaje de la primera parte que has presentado es inexacto.

El objetivo del argumento de la cobertura es que se puede configurar un autofinanciación cartera que sólo tiene una determinada cantidad de acciones y que invierte/presta dinero a un tipo de financiación específico. Se puede demostrar que dicha cartera tiene casi con seguridad el mismo resultado que la opción al vencimiento. El resultado de la opción es medible por F(T), lo que significa que el resultado depende de la trayectoria. Por lo tanto, sólo a través de la inversión/endeudamiento en un instrumento que devenga un tipo de interés y que financia una cantidad específica de activos de riesgo puede construirse dicha cartera e igualar el precio de la opción en cualquier t. Hay más cosas (fijación de precios neutral al riesgo y cambio de medida como parte del argumento de la cobertura completa para derivar la parte del activo de riesgo que debe negociarse para cubrir el pago de la opción, así que sólo he presentado lo esencial).

Su primera ecuación de la cartera asume que usted negocia la opción que en realidad trata de cubrir, lo cual pierde el punto del argumento de la cobertura. Donde la primera parte es errónea es en que, como usted afirma, "no hay entradas ni salidas de efectivo", lo cual es incorrecto: los flujos de entrada y salida de efectivo que se derivan de los cambios en el importe de la participación en el activo de riesgo se invierten/prestan en un instrumento que devenga intereses. Por lo tanto, es cierto que toda la cartera es autónoma, sin embargo, dentro de la cartera de cobertura hay claramente flujos de efectivo que tienen que ser prestados/invertidos.

Recomiendo encarecidamente seguir las páginas 217-220 de Stochastic Calculus for Finance II, de Steven Shreve, para entender el argumento de la cobertura y cómo sienta las bases para derivar el modelo de fijación de precios de Black Scholes (aunque adopta el enfoque de la fijación de precios neutral al riesgo en lugar del enfoque PDE, me parece mucho mejor entender el enfoque de la fijación de precios neutral al riesgo para apreciar plenamente cómo funciona la cartera de cobertura y por qué es tan importante).

Answer 3

Estoy de acuerdo en que la presentación habitual del argumento de la cartera replicante es deficiente. Creo que esto puede remontarse al documento de Merton de 1973 sobre Black-Scholes, porque su presentación es poco clara en el mismo sentido.

De hecho, la elección de comprar $\partial V\over \partial S$ acciones de la acción es forzado mediante el uso de una cartera de autofinanciación. Creo que el argumento debería ser el siguiente.

Definir una cartera $$\Pi = V- {\partial V\over \partial S} S + \psi P$$ donde $P$ es el precio de un \$1 bond with the same maturity date as the option, and $ \psi $ is some function of $ t $ and $ S $ such that $ \Pi=0 $ initially. We assume a Mertonian demon continuously shuffles funds back and forth between the stock and bond investments so as to always have exactly $ \N sobre acciones de S$ parciales.

Dado que esta cartera se autofinancia por construcción, la variación de su valor se debe únicamente a las plusvalías, es decir. $$ {\mathrm d}\Pi = dV - {\partial V\over \partial S} {\mathrm d}S + \psi {\mathrm d}P. $$ Los únicos términos estocásticos están en ${\mathrm d}V$ y ${\partial V\over \partial S} {\mathrm d}S $ y se cancelan exactamente, por lo que ${\mathrm d}\Pi$ es determinista. Entonces, apelando a la falta de oportunidades de arbitraje, $\Pi$ debe crecer al tipo de interés vigente seguro.

Pero, por lo tanto, ya que inicialmente $\Pi=0$ De hecho, debe ser siempre cero. Por lo tanto, $$ V={\partial V\over \partial S} S - \psi P $$ es una cartera de réplica autofinanciada de $V$ .