Solución exacta del precio de las acciones con el modelo de tipos de interés de Vasicek

Question

Definir dos procesos correlacionados de precios de acciones y tipos de interés (Vasicek), gobernados por los procesos de Wiener $W^{S}(t)$ y $W^{r}(t)$

$$dS(t)=r(t)S(t)dt+\sigma S(t)dW^{S}(t)$$

$$dr(t)=\kappa(\theta-r(t))dt+\gamma dW^{r}(t)$$

con escalares constantes $S_{0}>0$ , $T>0$ , $r_{0}>0$ , $\sigma>0$ , $\theta>0$ , $\gamma>0$ , $\kappa>0$ y $t>0$ , $dW^{S}(t)dW^{r}(t)=\rho dt$ con $t\in[0,T]$ .

La solución exacta del precio de las acciones en el momento $T$ es el siguiente

$$S(T)=S_{0}\exp(\int^{T}_{0}r(s)ds-\frac{1}{2}\sigma^{2}T+\sigma W^{S}(T))$$

Por sorteo $N$ tiempos de $W(T)\sim\mathcal{N}(0,T)$ se puede hacer una aproximación al valor esperado mediante una simulación de Monte Carlo; sin embargo, el término $\int^{T}_{0}r(s)ds$ es estocástica, ya que la solución exacta para $r(s)$ para el modelo Vasicek es el siguiente

$$r(s)=r_{0}e^{-\kappa s}+\theta(1-e^{-\kappa s})+\gamma e^{-\kappa s}\int^{s}_{0}e^{\kappa\bar{s}}dW^{r}(\bar{s})$$

con $\bar{s}$ una variable ficticia y $\int^{s}_{0}e^{\kappa\bar{s}}dW^{r}(\bar{s})\sim\mathcal{N}(0,\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1))$ según el lema de Ito, por lo tanto

$$\int^{T}_{0}r(s)ds=\frac{r_{0}}{\kappa}(1-e^{\kappa T})+\theta T+\frac{\theta}{\kappa}(e^{\kappa T}-1)+\int^{T}_{0}\gamma e^{-\kappa s}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1)}Zds$$

con $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ . A continuación, utilizando la integración por partes y la sustitución la integral $\int^{T}_{0}\gamma e^{-\kappa s}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1)}$ puede resolverse eligiendo en primer lugar $dU=\gamma e^{-\kappa s}$ y $V=\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1)}$ que lleva a

$$\int VdU=UV-\int UdV\implies\int^{T}_{0}\gamma e^{-\kappa s}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa s}-1)}ds=\frac{-\gamma e^{-\kappa T}}{\kappa}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa T}-1)}-\frac{\gamma}{2\kappa}\int^{T}_{0}\frac{1}{\sqrt{e^{\kappa s}-1}}ds$$

y en segundo lugar elegir $x=e^{\kappa s}-1$ con $ds=\frac{1}{\kappa x}dx$ lo que lleva a

$$\frac{-\gamma e^{-\kappa T}}{\kappa}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa T}-1)}-\frac{\gamma}{2\kappa}\int^{T}_{0}\frac{1}{\sqrt{e^{\kappa s}-1}}ds=\frac{-\gamma e^{-\kappa T}}{\kappa}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa T}-1)}+\frac{\gamma}{\kappa^{2}}(e^{\frac{-\kappa T}{2}}-1)$$

que es determinista. Por último, se puede hacer una simulación de Monte Carlo dibujando $N$ tiempos de $\int^{T}_{0}r(s)ds\sim\mathcal{N}(\mu=\frac{r_{0}-\theta}{\kappa}(1-e^{\kappa T})+\theta T,\sigma=\frac{-\gamma e^{-\kappa T}}{\kappa}\sqrt{\frac{1}{2\kappa}(e^{2\kappa T}-1)}+\frac{\gamma}{\kappa^{2}}(e^{\frac{-\kappa T}{2}}-1)$ para aproximar la expectativa de la solución exacta de $S(T)$ .

Mis preguntas son: i) ¿es correcto el razonamiento anterior, donde escribo la integral con respecto a $dW^{r}(t)$ como una integral con respecto a $ds$ multiplicado por una variable aleatoria normal estándar, $Z$ y ii) como W^{r}(T) se rige ahora por $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ puedo seguir computando $W^{S}(T)$ como sigue

$$W^{S}(T)=\sqrt{T}(\rho Z+\sqrt{1-\rho^{2}\bar{Z}})$$

con otra vez $\bar{Z}\sim\mathcal{N}(0,1)$ ? (Esta es una notación no convencional, pero conveniente en mi opinión).

Answer 1

Su enfoque parece estar bien, sin embargo, creo que vale la pena considerar una forma similar de obtener el precio de una opción vainilla. Consideremos la dinámica de su opción:

$$dS(t)=r(t)S(t)dt+\sigma S(t)dW^{S}(t)$$ $$dr(t)=\kappa(\theta-r(t))dt+\gamma dW^{r}(t)$$

Calculemos ahora el proceso bajo la medida de riesgo neutro utilizando dos movimientos brownianos independientes: $$dr(t)=\kappa(\theta-r(t))dt+\gamma d\bar{W}^{r}(t)$$ $$\frac{dS(t)}{S(t)}=r(t)dt+\rho\sigma \bar{W}^{r}(t)+\sigma\sqrt{1-\rho^2}\bar{W}^{S}.$$ Entonces, apliquemos un cambio de medida utilizando el ZCB $P(t,T)$ como el numéraire, que sigue la dinámica de Vasicek. $$d\kappa^T_\mathbb{Q}(t):=\frac{d\mathbb{Q}^T}{d\mathbb{Q}}|_{\mathcal{F}(t)}=\frac{P(t,T)}{P(0,T)}\frac{N(0)}{N(t)},$$ y por el lema de Ito: $$d\kappa^T_\mathbb{Q}(t)=\frac{1}{N(t)}dP(t,T)-\frac{P(t,T)}{N(t)^2}dN(t)\Leftrightarrow\frac{d\kappa^T_\mathbb{Q}(t)}{\kappa^T_\mathbb{Q}(t)}=\gamma B_r(t,T)d\bar{W}^r(t).$$ Así, obtenemos el $T$ -medida anticipada $$d\bar{W}^r(t)=\gamma B_r(t,T)dt+d\bar{W}^{r,T}(t),$$ $$d\bar{W}^S(t)=d\bar{W}^{S,T}(t),$$ por lo que ahora podemos fijar el precio del ZCB bajo esta nueva medida: $$\frac{P(t,T)}{P(t,T)}=r(t)dt+\gamma B(t,T)\left(\gamma B(t,T)dt+d\bar{W}^{r,T}(t)\right)$$ $$=\left(r(t)+\gamma^2B^2(t,T)\right)dt+\gamma B(t,T)d\bar{W}^{r,T}(t).$$ La dinámica de las acciones es entonces: $$\frac{dS(t)}{S(t)}=\left(r(t)+\rho\gamma\sigma B(t,T)\right)dt+\sigma\left(\rho d\bar{W}^{r,T}(t)+\sqrt{1-\rho^2}d\bar{W}^{S,T}(t)\right),$$ con $B(t,T)=\frac{1}{\kappa}\left(e^{-\kappa(T-t)}-1\right)$ y $d\bar{W}^{S,T}(t)d\bar{W}^{r,T}(t)=\rho dt$ . Por último, lo utilizamos para fijar el precio de la opción utilizando el hecho de que el precio futuro de las acciones $Z(t,T):=\frac{S(t)}{P(t,T)}$ es un $\mathbb{Q}^T$ -martingale. Expresemos el valor de la opción en términos de la expectativa (en términos de la medida neutral de riesgo en el tiempo $T$ ) de su función de pago $H(\cdot)$ : $$V(t_0,S)=N(t_0)\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{1}{N(T)}H(T,S)|\mathcal{F}(t_0\right]=P(t_0,T)\mathbb{E}^T[H(T,S)|\mathcal{F}(t_0)].$$ De nuevo, por el lema de Ito: $$dZ(t,T)=\frac{1}{P(t,T)}dS(t)-\frac{S(t)}{P(t,T)}dP(t,T)+\frac{S(t)}{P^3(t,T)}(dP(t,T))^2-\frac{1}{P^2(t,T)}dP(t,T)dS(t)$$ $$\Leftrightarrow \frac{dZ(t,T)}{Z(t,T)}=\sigma dW^{S,T}(t)-\gamma B(t,T)dW^{r,T}(t).$$ Es claramente una martingala, además podemos reexpresar los dos movimientos brownianos: $$dZ(t,T)=\sigma_Z(t)dW^Z(t),$$ donde $\sigma_Z(t)=\sqrt{\sigma^2+\gamma^2B(t,T)^2-2\rho\sigma\gamma B(t,T)}$ . Obsérvese que la fórmula de fijación de precios no depende de los tipos, pero su volatilidad varía en el tiempo. Esto significa que este enfoque funciona no sólo para Vasicek, sino también para otros modelos de tipos de interés y es muy conveniente porque $Z(t,T)=S(t)/P(t,T)$ no tiene $r(t)$ (ya que es sin rumbo) y $Z(T,T)=S(T)$ . Ahora sólo nos queda calcular el pago descontado: $$V(t_0,S)=P(t_0,T)\mathbb{E}^T[(Z(T,T)-K)^+|\mathcal{F}(t_0)]=Z(0,T)P(t_0,T)\Phi(d_+)-KP(t_0,T)\Phi(d_-)$$

$$d_+ =\frac{\log\left(\frac{Z(0,T)}{K}\right)+\frac{1}{2}\sigma_T^2(T-t_0)}{\sigma_T\sqrt{T-t_0}}$$ $$d_- =\frac{\log\left(\frac{Z(0,T)}{K}\right)-\frac{1}{2}\sigma_T^2(T-t_0)}{\sigma_T\sqrt{T-t_0}}$$ $$\sigma_T^2=\frac{1}{T-t_0}\int_{t_0}^T\sigma^2_Z(s)ds.$$