Cálculo de la deriva de un proceso

Question

Dejemos que $X_t:=e^{W_t}$ donde $W_t$ sigue el proceso de Wiener. Calcula la deriva.

La respuesta se da como $X_t/2$ . Mi intento de solución (que me temo es pobre desde el punto de vista matemático):

He aplicado el lema de Ito como $$dX_t=\frac{\partial X_t}{\partial W_t}dW_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 X_t}{\partial W_t^2}(dW_t)^2$$ y utilizando el hecho de que $(dW_t)^2=dt$ obtenemos: $$dX_t=\frac{e^{W_t}}{2}dt+e^{W_t}dW_t$$ Por lo tanto, la deriva es realmente $X_t/2$ .

¿Es correcta mi derivación? Agradecería cualquier aportación al respecto.

Answer 1

Su solución es correcta. En general, para cualquier $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ la deriva $\mu_{X^{\alpha\beta}}$ del proceso: $$X_t^{\alpha\beta}:=e^{\alpha t+\beta W_t}$$ será igual: $$\mu_{X^{\alpha\beta}}=\left(\alpha+\frac{\beta^2}{2}\right)X_t^{\alpha\beta}$$