Cómo encontrar la función característica en el método del coseno de Fourier (método COS) por Fang y Oosterlee

Question

Fang y Oosterlee (2009) introdujeron el método Fourier-Coseno (método COS) en su documento . La fórmula para fijar el precio de una opción es aproximadamente $$e^{-r\Delta t} \sum_{k=0}^{N-1}' Re\left\{ \phi\left( \frac{k\pi}{b-a}; x \right) e^{-ik\pi \frac{a}{b-a}} \right\} V_k$$ donde $\phi$ es la función característica de la función de densidad de probabilidad del subyacente y $V_k$ son los coeficientes de la serie coseno del pago al vencimiento.

Los autores propusieron que para aplicar la fórmula anterior a la opción de precio, sólo hay que encontrar $V_k.$

Sin embargo, tengo dificultades para encontrar la función característica en su lugar.

Se puede demostrar fácilmente que la función característica siempre existe. Pero no sé cómo calcularla, por ejemplo, en una opción de compra europea bajo la hipótesis de Black-Scholes.

Answer 1

Para los métodos de Fourier, siempre se necesita la función característica del precio del logaritmo del activo $\ln(S_t)$ . En el modelo Black-Scholes, $\ln(S_t)\sim N\left(\ln(S_0)+\left(r-\delta-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t,\sigma^2t\right)$ . Es bien sabido que que la función característica de $X\sim N(m,s^2)$ viene dada por $$\phi_X(u)=\exp\left(imu-\frac{1}{2}s^2u^2\right).$$ Esto se puede deducir mediante un simple ejercicio de integración. Como has dicho, es la transformada de Fourier de la curva de campana de Gauss. Esta función es, por supuesto, de valor complejo.

Como señaló @LocalVolatility, es posible que necesite la función característica de $\ln\left(\frac{S_T}{K}\right)=\ln(S_T)-\ln(K)$ . En general, para cualquier constante $c$ y la variable aleatoria integrable $X$ tenemos $$\phi_{X+c}(u)=e^{iuc}\phi_X(u).$$

Fang y Oosterlee derivan $V_k$ para algunas opciones europeas y demostrar una forma de estimar $a,b$ basado en los cumulantes de la distribución. Una vez comprobado todo esto, la aplicación es muy sencilla. Según Hirsa (2013), el método COS es el ``método basado en Fourier más rápido conocido''.

Carr y Wu (2004) y Lewis (2001) enumeran funciones características para muchos procesos exponenciales de Lévy diferentes (por ejemplo, Merton, Kou, NIG, VG, CGMY, ...). Los modelos de volatilidad estocástica como Heston (¡recuerde la "pequeña trampa de Heston"!), doble Heston, 4/2 también tienen funciones características de forma cerrada. Incluso las funciones características de los modelos de volatilidad aproximados pueden aproximarse. Sin embargo, algunos modelos no tienen una función característica conocida (por ejemplo, CEV, volatilidad local). Por lo tanto, no se puede utilizar el método COS para estos modelos.