Supongamos que conocemos la función de densidad $f$ del precio de las divisas que observamos en el mercado. Entonces, el precio de mercado de una opción de compra $C(K)$ con huelga $K$ sería \begin{align*} C(K)&=e^{-rT} \int_0^{\infty}(s-K)^+ f(s)ds \\ &=e^{-rT} \left( \int_K^{\infty} s f(s)ds - K \int_K^{\infty}f(s)ds \right) \tag*{(1)}. \end{align*}
$C(K)$ es un precio de mercado y queremos recuperar $f$ de la Ec(1). Así que sólo tenemos que diferenciar dos veces con respecto a K. Diferenciamos una vez para obtener \begin{align*} \frac{d}{dK}C(K)e^{rT} &= -K f(K) - \left( \int_K^{\infty} f(s)ds - K f(K) \right) \\ &= - \int_K^{\infty} f(s)ds \end{align*} Volver a diferenciar $$\frac{d^2}{dK^2}C(K)e^{rT} = f(K). \tag*{(2)}$$ Esto demuestra que la densidad "real" puede obtenerse a partir de los precios de compra. Como aproximación fácil a la Ec(2), podemos utilizar lo siguiente $$f(K) \cong \left[ \frac{ C(K+h)+C(K-h)-2C(K)}{h^2} \right]e^{rT}. \tag*{(3)}$$ ¿Cómo se utiliza esta fórmula? Podemos recopilar un conjunto de precios de mercado de las opciones de compra, para todos los strikes correspondientes a algún vencimiento, e interpolar las volatilidades. Supongamos que tenemos 6 precios de mercado. Entonces obtenemos las volatilidades implícitas a partir de los precios de las opciones e interpolamos las vols para tener un conjunto "más denso" de vols. Por ejemplo, si originalmente tenemos volatilidades implícitas de mercado del 85%, 90%, 95%, 100% 105% 110%, interpolamos para obtener el 70%, 71%, 72%, ... , 140%. A continuación, utilizamos la fórmula de Black-Scholes para obtener $C(K)$ y lo introducimos en la Ec(3) para obtener la densidad implícita deseada $f$ . Esto se puede hacer en Excel con bastante facilidad.
Por supuesto, hay muchas formas de interpolar las volatilidades y también de extrapolarlas en ambos extremos.
