Cómo llegar a la expectativa de la función de utilidad negativa mediante la expansión de la serie de Taylor

Question

Estoy intentando seguir los pasos de un autor en un argumento y tengo problemas para ver cómo se puede aplicar la expansión de la serie de Taylor para dar el resultado indicado. El escenario es el siguiente.

El precio medio de una acción evoluciona en función de: $$ dS_{u} = \sigma dW_{u} $$ con valor inicial $S_{t}=s$ y $W_{t}$ siendo un movimiento browniano unidimensional estándar con constante $\sigma$ .

Suponiendo un inventario de existencias de tamaño $q$ y una riqueza inicial, en dólares, de $x$ y la función de valor del agente viene dada como $$ v(x, s, q, t)= \mathbb{E}[-exp(-\gamma(x+qS_{T}))] $$ El autor pasa a afirmar que esta expectativa puede escribirse como: $$ v(x, s, q, t)= -exp(-\gamma x)exp(-\gamma qs)exp \left(\frac{\gamma^2q^2\sigma^2(T-t)}{2}\right) $$ Creo que se aplica una expansión en serie de Taylor para obtener este resultado, pero no puedo seguir cómo es el caso. ¿Puede alguien ayudarme a entender los pasos?

He tratado de seguir el método descrito en este Entrada de Wikipedia sobre Taylor y las variables aleatorias, pero lo anterior no acaba de "encajar".

Answer 1

En primer lugar, hay que derivar la distribución de $S_T$ . Usted ha dado $$dS_u=\sigma dW_u$$ Integrar ambos lados:

$$\int_t^T dS_u=\int_t^T dW_u$$ $$S_T-S_t=\sigma\big(W_T-W_t\big)$$ Sabemos que $W_t-W_t \sim N(0, T-t)$ Así que $$S_T-S_t \sim N(0, \sigma^2 (T-t))$$ $$S_T|S_t\sim N(S_t, \sigma^2(T-t))$$ Se da que el valor inicial de $S_t$ es $s$ , por lo que tenemos $$S_T|S_t\sim N(s, \sigma^2(T-t))$$

Ahora, viene el problema principal, Usted quiere $\mathbb{E}[-e^{-\gamma(x+qS_{T})}]$ . Todo excepto $S_T$ es constante y sacarlos de la expresión de expectativa. Así que, $$\mathbb{E}[-e^{-\gamma(x+qS_{T})}]=-e^{\gamma x}\mathbb{E}[e^{-\gamma qS_{T}}]$$ La expectativa de la RHS es igual que la función generadora de momentos. Si la variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal, con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ su MGF es: $$\mathbb{E}[e^{kX}]=e^{\mu k + \frac12 \sigma^2 k^2 }$$ Suponiendo que $k=-\gamma q$ su última ecuación resultará en \begin{align} \mathbb{E}[-e^{-\gamma(x+qS_{T})}]&=-e^{\gamma x}\mathbb{E}[e^{-\gamma qS_{T}}]\\ &=-e^{\gamma x} e^{-s\gamma q+ \frac12 \sigma^2 (T-t)^2 \gamma^2 q^2} \end{align} Esto es exactamente lo que querías. Por lo tanto, para resolver esto no se requieren series de Taylor ni ninguna distribución normal de Log.

Answer 2

Para responder a su pregunta hay que ver cuál es la distribución de $S_T$ . Desde $dS = \sigma dW$ tenemos que $S_T$ es una distribución normal con una varianza de $\sigma^2 (T)$ .

Ahora tienes $E(-exp(-\gamma(x + qS_T))) = -exp(-\gamma x) E (exp(-\gamma q S_T))$ . Dado que $S_T$ es normal $-\gamma q S_T$ también es normal. Sólo hay que escalar la varianza con $q^2 \gamma^2$ . Por último, hay que ver que el exponente de una distribución normal es logarítmico-normal. La media de una log normal viene dada por $exp(\mu + 0.5\sigma^2)$ (donde $\mu$ es la media de su normalidad y $\sigma$ es el stdev de su normal). Sólo tienes que introducir la media y la varianza de tu normal escalada $\gamma q S_T$ .

Ver también https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion

Espero que esto ayude.