Función de preferencia y utilidad convexa

Question

¿Cómo implica la preferencia convexa una función de utilidad casi cóncava (intuitiva y matemáticamente)?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea el conjunto convexo de alternativas, y que $\succeq$ sea una relación de preferencia y que $u(.)$ sea una función de utilidad que refleje estas preferencias, lo que significa que $u(x) \ge u(y)$ si y sólo si $x \succeq y$ .

El relación de preferencia $\succeq$ es convexo si

• Para todos $y$ , $x$ y $z$ en $X$ , si $x \succeq y$ y $z \succeq y$ entonces para todos $\alpha \in [0,1]$ , $\alpha x + (1-\alpha) y \succeq y$ .

• De forma equivalente, para todos los $y$ en $X$ el conjunto de todos los paquetes que son al menos tan buenos como $y$ es un conjunto convexo.

• De forma equivalente, para todos los $y$ en $X$ el conjunto $U_y = \{x \in X| x \succeq y\}$ es convexo.

El función de utilidad $u$ es Cuasi-cóncavo si

• Para todos $x$ , $y$ y $z$ en $X$ , si $u(x) \ge u(y)$ y $u(z) \ge u(y)$ , entonces para todos los $\alpha \in [0,1]$ , $u(\alpha x + (1-\alpha) z)\ge u(y)$ .

• De forma equivalente, para todos los $y$ en $X$ el conjunto de paquetes que dan al menos tanta utilidad como $y$ es un conjunto convexo.

• De forma equivalente, para todos los $y \in X$ el conjunto $V_y = \{x \in X| u(x) \ge u(y)\}$ es convexo.

Sin embargo, el conjunto $U_y$ y $V_y$ son los mismos. $$ V_y = \{x \in X| u(x) \ge u(y)\} = \{x \in X| x \succeq y\} = U_y. $$ Como tal, la convexidad de las preferencias es idéntica a la cuasi-concavidad de la función de utilidad que refleja estas preferencias.

Intuitivamente, la convexidad de las preferencias significa que todos los conjuntos del contorno superior son conjuntos convexos. Esto es, por definición, igual a la convexidad de todos los conjuntos que dan al menos el mismo nivel de utilidad que algún conjunto fijo dado. Esto es idéntico a la noción de cuasi-concavidad.