¿Cómo tratar una matriz invertida singular de Leontiev?

Question

Actualmente estoy estudiando y experimentando la metodología de entrada-salida. Se trata de un método de los años 30 basado en la contabilidad nacional que permite medir el flujo interindustrial de bienes y servicios.

Actualmente, lo estoy experimentando en la economía francesa. Más concretamente, quiero medir el impacto directo e indirecto del plan de financiación de las energías renovables financiado por el Estado (el Estado compra energía renovable a un precio fijo a los productores, ya que actualmente no es competitiva en el mercado de la electricidad, en relación con la producción de electricidad nuclear)

Quiero medir el crecimiento directo de la industria y el crecimiento indirecto de las industrias asociadas que se crea por la inversión en dichas industrias debido a este régimen de financiación.

Sé cuánta producción de 4 sectores se necesita para instalar 1Gw de capacidad de producción de electricidad renovable y sé cuántos Gw se instalan cada año desde 2006.

Ahora mi pregunta se dirige directamente a la tabla input-output que proporciona el Instituto Nacional de Estadística y Estudios Económicos. Es una institución estatal muy seria y no tengo ninguna duda de que la información (la tabla) que proporcionan es exacta.

Pero tengo un problema ya que mi calculadora (el software R) me devuelve la información de que la tabla que debo utilizar para ejecutar los cálculos es singular. Y como la fórmula que tengo que utilizar es la siguiente :

x = [I-A]^-1 . f

... por definición, si esta matriz [I-A] es singular, no tiene inversa. Y ese es exactamente mi problema : mi calculadora devuelve un mensaje de error que me impide pasar por el cálculo : " el objeto es exactamente singular : el determinante de la matriz (la matriz invertida leontiev) es cero en la última línea, lo que significa que los cálculos de inversión no puede ser opérated. ¿Alguna idea de la causa?

NB : para obtener esa matriz, primero he creado una matriz A de coeficientes técnicos dividiendo la tabla original de input-output del INSEE por la producción total de cada rama. De este modo, cada celda de la matriz A de coeficientes técnicos muestra la cantidad de cualquier insumo que se necesita en euros para la producción de un euro del producto total.

Espero que alguien pueda orientarme hacia la respuesta, un saludo.

Answer 1

No estoy seguro de qué dividiste exactamente por qué, pero supongamos que tu tabla de entrada-salida tiene este aspecto: $$ A = \left[ \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right] $$ Si se procede a dividir la primera columna por $\sum\limits_i a_{i,1}$ el segundo por $\sum\limits_i a_{i,2}$ y el tercero por $\sum\limits_i a_{i,3}$ entonces su nueva matriz tendrá 1 como valor propio. (Se puede demostrar esto mostrando que la norma de cualquier vector no cambia al multiplicarse con la matriz mediante un cálculo sencillo). Esto es problemático, porque si $s$ es un vector propio, entonces $$ A \cdot s = s = I \cdot s $$ lo que implica $$ (I - A) \cdot s = 0 $$ lo que a su vez implica que $I - A$ no es invertible (singular). Así que mi opinión sería que el problema es la división.

Pensaba (de forma incorrecta, véase el comentario más abajo) que los modelos de insumo-producto suelen tratar con bienes físicos, no con el valor de los bienes físicos, por lo que la unidad de medida de $a_{11}$ no serían euros por digamos litros (de leche). En este caso no habría que dividir el valor de los insumos individuales por la suma del valor, sino el número de bienes utilizados en los insumos individuales por la producción total de un bien. Este puede hacer que su problema desaparezca.

Answer 2

No he dividido cada columna por la suma de la misma. Esto no tendría sentido, ya que el objetivo es elaborar una matriz de coeficientes técnicos que relacione cada insumo (fila) que necesita la industria (columna) para producir su producto.

He dividido cada elemento de la tabla input-output por la producción total de la rama, según el método presentado en Input-Output analysis Foundation and extension : Miller / Blair, Cambridge University press.

De este modo, en 2006, cuando la industria de la sopa ha

Producción de sopa por valor de 50 euros (producción)

10 € de insumos de tomates

10 € de entrada de zanahorias

5 € de entradas de agua

Los coeficientes técnicos (A) serán :

10/50 = 0,2 = coeficiente técnico de la entrada de tomates

10/50 = 0,2 = coeficiente técnico de la entrada de zanahorias

5/50 = 0,1 = coeficiente técnico de la entrada de agua

Puede leerse así: si quieres producir un euro de sopa, necesitarás comprar 0,2 euros de tomates, 0,2 euros de zanahorias y 0,1 euros de agua.

Answer 3

Muy bien chicos. Me diste la respuesta cuando Dismalscience escribió "esto sigue sin ser un problema mientras el valor del bien producido difiera de la suma del valor de sus insumos"

... en realidad, una de las ramas tenía un conjunto completo de ceros en la tabla de insumos excepto un insumo y un cero en términos de producción ... y otra tenía un conjunto completo de ceros en términos de insumos y una producción existente ... a los determinantes no les gusta el segundo caso y a la lógica no le gusta el primer problema.

Al fin y al cabo era un problema de datos, gracias por todo.