Aplicación del lema de Ito en la teoría de la utilidad esperada

Question

Un inversor con curva de utilidad $U(.)$ tiene riqueza $X_t$ en el momento t. Invierte

• Una proporción $p$ de su riqueza en un activo de riesgo que sigue un movimiento browniano geométrico, con parámetros $\mu$ y $\sigma$ y la proporción restante $1-p$ en el activo libre de riesgo, con una tasa continua r.

Q1.) ¿Cómo se puede encontrar la ecuación diferencial estocástica para $U(X_t)$ , donde $dX_t$ puede escribirse combinando las proporciones de los diferentes activos ?

Q2.) Al considerar $U(X_{t+dt}) | F^X_t$ , donde $F^X_t$ es la filtración generada por el proceso de riqueza, ¿cómo se obtendría la proporción óptima p que el inversor debería utilizar para el periodo de tiempo $[t; t + dt]$ basado en la Teoría de la Utilidad Esperada.

Answer 1

Los activos con y sin riesgo siguen procesos,

$$\frac{dS_t}{S_t}= \mu \, dt + \sigma \, dB_t, \,\,\, \frac{dM_t}{M_t}= r \, dt$$

Si la proporción invertida en el activo de riesgo en el momento $t$ es $p_t$ entonces el proceso de riqueza es

$$\frac{dX_t}{X_t}= p_t \frac{dS_t}{S_t}+ (1-p_t)\frac{dM_t}{M_t}= (r + p_t(\mu -r)) dt + p_t \sigma dB_t$$

Encontrar el proceso para una función de utilidad $x \mapsto U(x)$ requiere una aplicación del lema de Ito,

$$dU(X_t) = \left(\mu \frac{dU}{dx} + \frac{1}{2} \sigma^2\frac{d^2U}{dx^2}\right) \, dt + \sigma \frac{dU}{dx} \, dB_t$$

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Para ilustrarlo, supongamos que tenemos una función de utilidad logarítmica, $U(X_t) = \log X_t$ . Utilizando el lema de Ito obtenemos el proceso

$$dU(X_t) = d\log X_t= (r + p_t(\mu -r)- \frac{1}{2} p_t^2 \sigma^2) dt + p_t \sigma dB_t$$

Integrar más de $[0,T]$ obtenemos

$$\log X_T = \log X_0 + \int_0^T(r + p_t(\mu -r)- \frac{1}{2} p_t^2 \sigma^2)\, dt+ \int_0^T \sigma p_t \, dB_t,$$

con la utilidad terminal esperada de la riqueza

$$\mathbb{E}(\log W_T) = \log X_0 + \int_0^T(r + p_t(\mu -r)- \frac{1}{2} p_t^2 \sigma^2)\, dt$$

En este caso la asignación óptima es la proporción constante $p^*$ dado por

$$p^* = \text{argmax}_p(r + p(\mu -r)- \frac{1}{2} p^2 \sigma^2)T = \frac{\mu-r}{\sigma^2}$$

Esta, por cierto, es la famosa fracción óptima de Kelly que maximiza la tasa de crecimiento geométrico de la cartera.