La gamma es la sensibilidad de la delta con respecto a cambios infinitesimales en el precio del activo subyacente (en cualquier unidad en la que esté nominado su subyacente, normalmente dólar, libras, euros, ...). Por tanto, no se trata de un cambio porcentual. En cambio, el cambio porcentual (elasticidad de la opción) es igual a $\Delta\frac{S}{V}$ . Esta cantidad, por ejemplo, le da el exceso de rendimiento esperado de la opción.
Sin embargo, me parece que estás buscando la elasticidad de delta? ¿El porcentaje de cambio en delta cuando el precio del activo subyacente cambia en un uno por ciento? Esto viene dado por \begin{align*} \frac{\frac{\partial \Delta}{\Delta} }{\frac{\partial S}{S}} &= \frac{\partial \Delta }{\partial S}\frac{S}{\Delta} \\ &= \Gamma\frac{S}{\Delta}. \end{align*} En el caso de Black-Scholes, $\Delta_c=e^{-qT}\Phi(d_1)$ o $\Delta_p=-e^{-qT}\Phi(-d_1)$ y $\Gamma=e^{-qT}\frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}=Ke^{-rT}\frac{\varphi(d_2)}{S^2\sigma\sqrt{T}}$ que, obviamente, es el mismo para las opciones de venta y de compra. Aquí, $\varphi$ y $\Phi$ son la fdp y la fdc de una variable aleatoria de distribución normal estándar.
Si sólo estuviera interesado en el cambio absoluto de la delta si el precio del activo subyacente cambia un uno por ciento, calcularía $\frac{\partial \Delta}{\frac{\partial S}{S}}=\Gamma S$ que es idéntico para las opciones de venta y de compra de tipo europeo. Del mismo modo, la variación porcentual de la delta dada una variación absoluta del activo subyacente (en las unidades correspondientes) viene dada por $\frac{\frac{\partial\Delta}{\Delta}}{\partial S}=\frac{\Gamma}{\Delta}$ .
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En respuesta a la importante pregunta de Slade, permítanme comentar el factor $\frac{1}{100}$ . Las ecuaciones anteriores ignoran las unidades y se limitan a observar la relación entre los cambios absolutos/relativos del precio/delta... Si se dividen dos porcentajes, se "pierde" el símbolo de porcentaje y se debe volver a dividir por 100. Así que el factor $\frac{1}{100}$ es sólo para producir un número como entre 0,012 mientras que de lo contrario se obtiene 1,2[%] donde hay que recordar el %. Así que los números son los mismos, depende de la mera preferencia.
Ejemplo : El mundo de Black Scholes con $S_\mathrm{old}=10$ , $K=10$ , $r=0.05$ , $T=\frac{1}{2}$ y $\sigma=0.2$ (sin dividendos).
Entonces, $C_\mathrm{old}\approx 0.69$ , $\Delta_\mathrm{old}\approx0.60$ y $\Gamma_\mathrm{old}\approx0.27$ .
Consideremos ahora un cambio absoluto en el precio del activo subyacente a $S_\mathrm{abs}=11$ tal que $C_\mathrm{abs}\approx1.41$ , $\Delta_\mathrm{abs}\approx 0.82$ y $\Gamma_\mathrm{abs}\approx0.17$ .
Del mismo modo, consideramos que un cambio porcentual a $S_\mathrm{per}=10.1$ con $C_\mathrm{per}\approx0.75$ , $\Delta_\mathrm{per}\approx 0.62$ y $\Gamma_\mathrm{per}\approx 0.27$ .
Entonces, ¿qué obtenemos con estas cifras?
- Trivialmente, $S_\mathrm{abs}\approx C_\mathrm{old} + \Delta_\mathrm{old}=1.29$ o incluso mejor $S_\mathrm{abs}\approx C_\mathrm{old}+\Delta_\mathrm{old}+\frac{1}{2}\Gamma_\mathrm{old}=1.42$ . De la misma manera, $\Delta_\mathrm{abs}\approx \Delta_\mathrm{old}+\Gamma_\mathrm{old}=0.87$ .
- La variación porcentual del precio de la opción dada una variación porcentual del precio del activo subyacente es $\frac{C_\mathrm{per}}{C_\mathrm{old}}-1\approx0.089=8.9\%$ . La elasticidad de la opción era efectivamente $\Delta_\mathrm{old}\frac{S_\mathrm{old}}{C_\mathrm{old}}=8.7$ . Como ves, este número te da la cifra porcentual correspondiente.
- Lo mismo ocurre con el delta: $\frac{\Delta_\mathrm{per}}{\Delta_\mathrm{old}}-1=0.045=4.5\%$ que se estima por $\Gamma_\mathrm{old}\frac{S_\mathrm{old}}{\Delta_\mathrm{old}}\approx4.6$ . De nuevo, se obtiene el número de porcentaje.
- Dejando a un lado las elasticidades, la variación porcentual de $\Delta$ dado un cambio absoluto en el precio del activo subyacente es $\frac{\Delta_\mathrm{per}}{\Delta_\mathrm{old}}-1=0.37$ que esperábamos que fuera $\frac{\Gamma_\mathrm{old}}{\Delta_\mathrm{old}}\approx 0.46$ .
- El cambio absoluto en $\Delta$ dado un cambio porcentual en el precio del activo subyacente es $0.027=2.7\%$ y se estima que es $\Gamma_\mathrm{old}S_\mathrm{old}\approx2.74$ . Así que, de nuevo, tenemos que recordar la unidad.
Así pues, el resultado final es que tiene cuatro posibilidades (abs|abs (esto es gamma), abs|per, per|abs y per|per (elasticidad), donde per|abs significa un cambio porcentual en delta dado un cambio absoluto en el precio del activo subyacente, etc.). Siempre que se calculen cambios (absolutos o relativos) dados un cambio porcentual (es decir, abs|per y per|per), hay que recordar la unidad y, por tanto, el factor $\frac{1}{100}$ . En cualquier caso, la magnitud de su resultado debería indicar si su resultado es un porcentaje o no.
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La gamma, como derivada de la delta con respecto al precio al contado subyacente, representa la tasa de variación de la delta ante una variación infinitesimal del precio al contado. Por analogía con la física, es la aceleración instantánea del precio de la opción.
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Gamma corresponde a la variación de delta en respuesta a un movimiento de una unidad del precio de la acción subyacente. La cuestión es que para valores pequeños del contado, el desplazamiento de una unidad no es relevante. Es más lógico utilizar un desplazamiento del 1 por ciento, por lo que estoy buscando una fórmula modificada para calcular el valor gamma para un desplazamiento del spot del 1 por ciento.