La fracción de Kelly es $f^\star$ maximizando $\mathbb E[\log(1+f X)]$ . Por ejemplo, si $$ X\sim\begin{cases} 1 & w.p. p\\ -1 & w.p. 1-p \end{cases}, $$ conseguimos que $f^\star=2p-1$ . Tengo curiosidad por las formas cerradas de $f^\star$ para distribuciones discretas con $X\in [-1,1]$ . Me pregunto si esa forma cerrada se conoce en la literatura económica.
Puedo derivar una forma cerrada simple si $supp(x) = \{-1,0,1\}$ mediante el reajuste de la escala $p$ pero me interesa un soporte mayor (finito), digamos $\{-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1\}$ .
¿Alguna idea?
Editar Dado el comentario, lo aclaro. La función $\mathbb E[\log(1+f X)]$ es estrictamente cóncavo en $f$ para $f\in[0,1]$ por lo que sólo existe un máximo. Como también es diferenciable, ese máximo es root de su derivada.
La serie de Taylor implica que $$ \log(1+y)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {y^{n}}{n}}=y-{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {y^{3}}{3}}-\cdots $$ Por lo tanto, $$ \frac{d}{df}\mathbb E[\log(1+f X)]=\frac{d}{df}\mathbb E\left[\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(fX)^{n}}{n}}\right]. $$ Invocando la linealidad de la expectativa, tenemos $$ \frac{d}{df}\mathbb E[\log(1+f X)]=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{f^{n-1} \mathbb E[ X^n]}. $$ El criterio de Kelly es $f^\star$ es root de la ecuación anterior. Me pregunto si tiene una forma cerrada agradable para algunas distribuciones discretas, no Bernoulli.
