Estoy leyendo Lucas (1980) y estoy un poco confundido sobre la forma en que formula la función de utilidad.
Así que hay un bien no almacenable que entra $n$ colores y una unidad de trabajo produce $y$ unidades de cualquier color. Dice:
El consumo es ahora un vector $(c_{1t},...c_{nt})$ donde $c_{it}$ es el consumo de color $i$ en el período $t$ .
Hasta ahora no tengo ningún problema. Pero entonces define la utilidad del período actual como:
$V(c_{1},...c_{n}) = U[\pi_{i=1}^{n}(\frac{c_{i}}{\alpha_{i}})^{\alpha_{i}}]$ donde U es una función de utilidad estándar. $\sum _{i} \alpha_{i}=1$ y $\sum _{i} c_{i}=c$
Lo que parece confundirme es, en primer lugar, el uso de pi en minúsculas. Seguramente Lucas se refiere al operador de multiplicación. Es decir $V(c_{1},...c_{n}) = U[(\frac{c_{1}}{\alpha_{1}})^{\alpha_{1}}...(\frac{c_{n}}{\alpha_{n}})^{\alpha_{n}}]$
Luego dice que los precios relativos de los bienes deben ser la unidad, lo cual entiendo. Sin embargo, en la siguiente parte es donde está mi principal fuente de confusión, dice:
Con estos precios, los consumidores seleccionarán las proporciones de color $c_{i}/c=\alpha_{i}$ y dada esta mezcla $V(c_{1},...c_{n}) = U(c)$ . Sin alterar el ejemplo se puede pensar que todos los agentes tienen el mismo $\alpha$ -pesos, de agentes distribuidos por un c.d.f. $F(\alpha)$ de pesos. (...) En cada uno de estos casos, la mezcla de producción de equilibrio (per cápita) es $(\bar{\alpha_{1}}y_{1},...,\bar{\alpha_{n}}y_{n})$ cada periodo, donde $\bar{\alpha_{i}} = \int\alpha_{i}dF(\alpha)$
He intentado equiparar el MRS a los precios relativos (es decir, 1), pero como no estoy seguro de la forma de la función de utilidad, no sé si mi trabajo es correcto. Además, estoy muy confundido sobre la definición de $\alpha$ . ¿Qué significa que los agentes tengan pesos? ¿Es sólo una forma de afirmar que están igualmente distribuidos?
