Arbitraje cuando la cartera sin riesgo gana menos que la cartera sin riesgo

Question

Actualmente estoy leyendo el excelente libro de Paul Wilmott sobre la valoración de opciones. Casi al principio, construye una cartera sin riesgo utilizando una opción, y una posición corta sobre el subyacente para cubrir el riesgo. Me interesan específicamente las opciones europeas.

A continuación, un argumento de no arbitraje:

• Si esta cartera gana más que el tipo libre de riesgo: pida prestado dinero al tipo libre de riesgo, compre la cartera y gane dinero con el arbitraje.

• A la inversa: ponte en corto con la cartera, invierte el dinero en un instrumento sin riesgo y vuelve a ganar dinero con el arbitraje.

He buscado en Internet, pero no he podido encontrar una explicación para el segundo argumento, ¡que me cuesta mucho entender! Al acortar la cartera, acortamos una opción, y "acortamos un corto", es decir, nos ponemos largos en la acción.

Por lo tanto, cuando nos pongamos en corto en la cartera, puede que incluso tengamos que gastar dinero adicional, si la opción en corto no dio suficiente dinero para comprar las acciones.

Este segmento se centra en la binomio modelo, así que he intentado separar esto a 3 casos:

1. Cuando tanto en el estado alcista como en el bajista la opción vale más que 0. En este caso, el arbitraje se basa en la compra de la cantidad de acciones que se pueden tener ejerciendo la opción. Me cuesta encontrar argumentos de por qué en este caso la opción debería valer más que la acción en el periodo anterior al vencimiento.

2. Tanto en el estado alcista como en el bajista la opción vale 0. Entiendo este caso, la opción vale 0 en la vuelta antes del vencimiento, y la cobertura es un caso degenerado (longing 0 acciones).

3. Cuando en el estado de subida la opción vale > 0, y en el estado de bajada la opción vale = 0. Como en el caso 1, no encuentro un buen argumento.

Como puedes ver, me he quedado sin respuestas. Ni siquiera entiendo por qué una cartera sin riesgo debe ganar la tasa libre de riesgo. ¿Alguien tiene una pista?

Answer 1

Recogiendo algunos de los comentarios ya que se está alargando demasiado.

• El modelo binomial sólo asume las propiedades de dos activos: el bono y la acción. En el modelo, es posible cubrir los créditos contingentes (es decir, las opciones) mediante una asignación dinámica al bono y a la acción.

• "donde la rentabilidad de una cartera de una opción + cortos en el subyacente es menor que la tasa libre de riesgo", en el modelo estos no existen. La prueba funciona por contradicción. Supongamos que existe un arbitraje: o bien es posible ganar dinero comprando o vendiendo la cartera. Ahora demuestre que ambas cosas son imposibles. Por lo tanto, el arbitraje no es posible.