Tengo una pregunta sobre este problema. Creo que he derivado $f(t,T)$ utilizando correctamente el bono de cupón cero. Pero no estoy seguro de cómo seguir adelante con la pregunta y cómo utilizar la segunda parte.
Pregunta
Tenga en cuenta que $$ f(t, T)=-\frac{\partial}{\partial T} \log P(t, T) $$ Supongamos el marco HJM. Supongamos que el $T$ -los datos de los precios de los bonos en el mercado implican que $$ [f(\cdot, T), f(\cdot, T)]_{t}=\sigma e^{-\lambda(T-t)} $$ (a) ¿Cuál es la volatilidad del tipo de interés a plazo? (b) Si suponemos que no hay arbitraje, ¿cuál es la deriva de $f(t, T)$ en el marco de la ELMM $\mathbb{Q}$ ?
Mi intento:
Primero derivé $ f(t, T)=-\frac{\partial}{\partial T} \log P(t, T) $ como el siguiente:
Definición de la tasa instantánea a plazo:
$$f(t, T)=f(0, T)+\int_{5}^{t} \alpha(s, T) d s+\int_{0}^{t} \sigma_{f}(s, T) d w(s)$$
$$d f\left(t, T\right)=\alpha(t, T) d t+\sigma^2_{f}(t, T) dw_{t}$$
Definición del precio de los bonos de cupón cero:
$$d P(t, T)=r_{t} P(t, T) d t+\sigma_{p}\left(t, T\right) P(t, T) d w_{t}$$
Tomando el diferencial de ambos lados de: $f(t, T)=-\frac{\partial}{\partial T} \log P(t, T) $ nos encontramos con que:
$$d f(t, T)=-\frac{d}{d T} d Log (P(t, T))$$
Utilizando el lema de Ito sobre $d Log (P(t, T))$ nos encontramos con que:
$$d \ln P(t, T)=r_{t} d t+\sigma_{p}\left(t, T\right) d W_{t}-\frac{1}{2} \sigma_{p}(t, T)^{2} d t$$
por lo tanto:
$$d f(t, T)=\sigma_{p}(t, T) \frac{d}{d T} \sigma_{p}\left(t, T\right) d t-\frac{d}{d T} \sigma_{p}(t, T) d w_{t}$$
Esta es la parte en la que estoy confundido. Tenemos dos definiciones de $d f(t, T)$ como el siguiente:
$$d f\left(t, T\right)=\alpha(t, T) d t+\sigma^2_{f}(t, T) dw_{t}$$
$$d f(t, T)=\sigma_{p}(t, T) \frac{d}{d T} \sigma_{p}\left(t, T\right) d t-\frac{d}{d T} \sigma_{p}(t, T) d w_{t}$$
Por lo tanto, pensé que los términos de deriva y volatilidad debían ser iguales:
$$\begin{aligned} &-\frac{d}{d T} \sigma_{p}(t, T) d \omega_{t}=\sigma_{f}(t, T) d w_{t} \\ &\int_{t}^{T} \sigma_{f}(t, u) d u+c=-\sigma_{p}(t, T) \end{aligned}$$
C = 0 por la definición del bono de cupón cero. Ahora, la parte de la volatilidad:
$$\sigma^2(t, T) d t=\sigma_{p}(t, T) \frac{d}{d T} \sigma_{p}(t, T) d t$$
$$\sigma(t, T) d t=\sqrt{\sigma_{f}(t, T) \int_{t}^{T} \sigma_{f}(t, u) d u}$$
Por lo tanto, la dinámica del tipo de interés a plazo instantáneo bajo la medida de riesgo neutral es:
$$d f(t, t)=\sqrt{\left(\sigma_{f}(t, T) \int_{t}^{\top} \sigma_{f}(t, u) d u\right) d t}+\sigma_{f}(t, t) d w_{t}$$
Siento que me equivoco y ni siquiera utilicé la segunda parte de la pregunta donde $[f(\cdot, T), f(\cdot, T)]_{t}=\sigma e^{-\lambda(T-t)}$ . Ayuda por favor.
