¿Es esta forma cuadrática el ratio de Sharpe?

Question

Estoy leyendo el libro de Merton Una derivación analítica de la frontera eficiente de la cartera . En la sección IV, deriva la frontera eficiente con un activo sin riesgo. Sea $\mathbf{w}$ sea un vector de ponderaciones de la cartera y que $w_f$ sea la ponderación del activo sin riesgo $r_f$ . Entonces

$$ \mathbf{w}^{\top} \mathbf{1} + w_f = 1 \tag{1} $$

por la construcción. El problema de optimización es

$$ \begin{aligned} \min_{\mathbf{w}} &&& \mathbf{w}^{\top} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w}, \\ \text{subject to} &&& \mathbf{w}^{\top} \tilde{\boldsymbol{\mu}} = \tilde{\mu}_p, \end{aligned} \tag{2} $$

donde

$$ \begin{aligned} \tilde{\boldsymbol{\mu}} &\triangleq \boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1}, \\ \tilde{\mu}_p &\triangleq \mu_p - r_f, \end{aligned} \tag{3} $$

y donde $\boldsymbol{\mu}$ es un vector de rendimientos esperados y $\mu_p$ es el rendimiento de la cartera. Puedo escribir la función lagrangiana y derivar las condiciones de primer orden:

$$ \begin{aligned} \nabla_{\mathbf{w}} \mathcal{L} &= 2 \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w} + \lambda \tilde{\boldsymbol{\mu}} = \mathbf{0}, \\ \frac{\partial}{\partial \lambda} \mathcal{L} &= \mathbf{w}^{\top} \tilde{\boldsymbol{\mu}} - \tilde{\mu}_p = 0. \end{aligned} \tag{4} $$

Finalmente, puedo derivar los mismos pesos óptimos

$$ \mathbf{w} = \tilde{\mu}_p \left( \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \tilde{\boldsymbol{\mu}}}{\tilde{\boldsymbol{\mu}}^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \tilde{\boldsymbol{\mu}}} \right) \tag{5} $$

y la misma ecuación de forma cuadrática de Merton, su ecuación 35:

$$ \begin{aligned} | \mu_p - r_f | &= \sigma_p \sqrt{(\boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1})} \\ &\Downarrow \\ \mu_p &= r_f \pm \sigma_p \sqrt{(\boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1})}. \end{aligned} \tag{6} $$

Se trata claramente de una función a trozos en la que cada mitad es una función lineal. La mitad superior es, supongo, lo que la gente llama la línea del mercado de capitales, ya que la variable independiente es $\mu_p$ la variable dependiente es $\sigma_p$ y el $y$ -La intersección es $r_f$ . Sin embargo, y esta es mi pregunta, la pendiente es no el ratio de Sharpe:

$$ \frac{\mu_p - r_f}{\sigma_p} \stackrel{???}{\neq} \sqrt{(\boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1})^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1})}. \tag{7} $$

¿Qué me falta?

Answer 1

Tal vez esto sea útil. Mira mi otra respuesta para seguir mejor mi notación.

$$ \begin{align*}a &\equiv \sum_i \sum_j V_{ij} \mu_i \quad \quad \text{(in Merton paper)}\\ &= \boldsymbol{1}'V \boldsymbol{\mu} \quad \quad \text{(in vector notation)} \\ &= s_{1u} \quad\quad \text{my preferred shorthand} \\ \\ b &\equiv \sum_i \sum_j V_{ij} \mu_j \mu_k\\ &= \boldsymbol{\mu}'V \boldsymbol{\mu} \quad \quad \text{(in vector notation)} \\ &= s_{uu} \quad\quad \text{my preferred shorthand}\\ \\ c &\equiv \sum_i \sum_j V_{ij} \\ &= \boldsymbol{1}'V \boldsymbol{1} \quad \quad \text{(in vector notation)}\\ &= s_{11} \quad\quad \text{my preferred shorthand} \end{align*} $$

$$ S = \begin{bmatrix} b & a \\ a & c \end{bmatrix} $$

$$ \mathbf{w}^* = \frac{\Sigma^{-1} \left( \boldsymbol{\mu} - r_f\right)}{\mathbf{1}' \Sigma^{-1} \left( \boldsymbol{\mu} - r_f \right)}$$

$$ \mathbf{w^*}'\boldsymbol{\mu} = \frac{s_{uu} - r_f s_{1u}}{s_{1u} - r_fs_{11}}$$

$$ \mathbf{w^*}'\boldsymbol{\mu} - r_f = \frac{s_{uu} - 2r_fs_{1u} + r_f^2s_{11}}{s_{1u} - r_f s_{11}}$$

$$ \begin{align*} \mathbf{w^*}'\Sigma \mathbf{w^*} &= \frac{ \left( \boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1}\right)'\Sigma^{-1} \left( \boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1}\right) }{\left(s_{1u} - r_fs_{11} \right)^2} \\ &= \frac{s_{uu} - 2r_f s_{1u} + r_f^2 s_{11} }{\left(s_{1u} - r_fs_{11} \right)^2} \end{align*} $$ Finalmente: $$ \frac{\mathbf{w^*}'\boldsymbol{\mu} - r_f}{\sqrt{\mathbf{w^*}'\Sigma \mathbf{w^*}} } = \sqrt{s_{uu} - 2r_f s_{1u} + r_f^2 s_{11}}$$

Que es la última línea que tienes en (7).