Si la curva de Engel de una función de utilidad Cobb-Douglas es positiva y lineal, ¿significa eso que no es un bien de necesidad ni de lujo?

Question

Dado que la concavidad de la Curva de Engel determina si se trata de una necesidad o de un lujo (es decir, la rapidez con la que cambia la demanda de cantidades en relación con los cambios en la renta), y dado que la segunda derivada de una Curva de Engel Cobb-Douglas es 0, ¿significa eso que no es ninguna de las dos categorías?

Edición: En términos sencillos, si una curva de Engel es una línea recta con pendiente positiva, es obviamente un bien normal. Pero si la curva está representada por una función como esta

$I = 10 * P_x * x.$

Entonces la curva tiene una pendiente ambigua. Si el precio de $x$ ( $P_x$ ) resulta ser mayor que 1/10, entonces el bien es un lujo, y viceversa para un bien con $P_x < 1/10$ . Pero si es así de ambiguo, entonces la segunda derivada (que indica la concavidad y, por tanto, en qué dirección aumenta/disminuye la curva) ¿es imposible de decir?

Como referencia, esta Curva de Engel se derivó de la función de utilidad Cobb-Douglas:

$U(x,y) = x^{(1/10)}y^{(9/10)}.$

Answer 1

Recordemos las siguientes definiciones equivalentes para los bienes de lujo y las necesidades:

• Un buen $x$ se considera una necesidad si $e_{(x,I)}<1$ .

• Un buen $x$ se considera un bien de lujo si $e_{(x,I)}>1$ .

  Como puede ver, esta definición no abarca todos los escenarios posibles, por lo que cualquier bien específico no tiene por qué ser ni un lujo ni una necesidad.

En el caso de una función de utilidad Cobb-Douglas $U(x,y)=x^\alpha \cdot y^\beta$ obtenemos $x^* = \frac {\alpha I}{P_x}$ . Se puede comprobar fácilmente que $e_{(x,I)}=1$ . En otras palabras, la demanda hace para $x$ no cambia con $I$ . Esto significa que en este caso, $x$ no es un bien de lujo ni una necesidad.