Opciones de vencimiento anticipado/deconvolución

Question

Tome una configuración estándar de Markov (con las suposiciones necesarias)

$$ dX_t = \mu(t,X_t)dt + \sigma(t,X_t) dW_t $$

Supongamos que se puede obtener la distribución (es decir, los precios de las opciones) para $t_1$ (el vencimiento anticipado) y $t_2$ . Lo que realmente busco es lo que se puede decir sobre $X$ en ese intervalo. Estaba pensando que podemos obtener la distribución de $\log X_{t_2} = \log X_{t_1} + \log X_{t_2-t_1}$ mediante la deconvolución de las funciones características.

¿Hay algo más que podamos decir, quizás sobre las distribuciones condicionales? Esta es probablemente una pregunta básica. Agradecería que alguien me indicara el enfoque correcto.

Answer 1

Creo que esta es una buena pregunta. He pensado un poco en esto, pero sólo puedo ofrecer lo siguiente hasta ahora - tal vez ayude a la discusión.

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Llamemos al periodo 1 log return $x_1$ la rentabilidad logarítmica del periodo 2 $x_2$ y la declaración conjunta $y=x_1+x_2$ .

Si asumimos la independencia de $x_1$ y $x_2$ obtenemos para la función característica $\phi(t)$

$$ \begin{align} \phi_y(t)&\equiv\mathrm{E}\left(e^{ity}\right)\\ &=\mathrm{E}\left(e^{it\left(x_1+x_2\right)}\right)\\ &=\mathrm{E}\left(e^{itx_1}\right)\mathrm{E}\left(e^{itx_2}\right) \\&=\phi_{x_1}(t)\phi_{x_2}(t) \\ \Rightarrow \quad\quad\quad \phi_{x_2}(t)&=\frac{\phi_y(t)}{\phi_{x_1}(t)}\\ \Rightarrow \quad\quad\quad f(x_2)&=\frac{1}{2\pi}\int e^{-itx_2}\frac{\phi_y(t)}{\phi_{x_1}(t)}\mathrm{d}t\ \end{align} $$

que se puede realizar numéricamente. Para $X_t$ siguiendo una difusión de salto afín con parámetros posiblemente dependientes del tiempo, la(s) función(es) característica(s) puede(n) obtenerse numéricamente.

No sé qué más podemos decir sobre el condicional distribución $f(x_2|x_1)$ Sin embargo.