Derivación del resultado teórico - Cartera del CEI

Question

En el artículo " Sobre las propiedades de las carteras de contribuciones de riesgo igualmente ponderadas " de Maillard, Roncalli y Teiletche, se derivan algunos resultados generales.

Uno de ellos establece que, si la correlación $\rho$ es constante para cada par de variables, los pesos $x_i$ de la cartera del CEI tienen que satisfacer la condición $ \sigma_i(x) = \sigma_j(x)$ y con la hipótesis planteada anteriormente, equivale a tener $x_i \sigma_i = x_j \sigma_j$ . En el sitio web $ \sigma_i(x) = x_i \sigma_i( (1 - \rho)x_i \sigma_i + \rho \sum_k x_k \sigma_k ) / \sigma(x) $ y $\sigma_i$ el vol del activo i y $\sigma(x)$ el vol de la cartera.

No conseguí probar el resultado.

He demostrado que es equivalente a tener : $(x_i\sigma_i - x_j\sigma_j)( (1-\rho )(x_i\sigma_i + x_j\sigma_j) + \rho\sum_k x_k \sigma_k) = 0$

La idea sería demostrar que el segundo paréntesis es diferente de 0, pero no tuve éxito.

Una indicación de los autores es "Utilizamos el hecho de que la correlación constante verifica $\rho \geq - \frac{1}{n-1}$ ".

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Vale, ¡he encontrado una solución!

Así pues, partimos de $(x_i\sigma_i - x_j\sigma_j)((x_i\sigma_i + x_j\sigma_j)(1 - \rho) + \rho\sum_k x_k \sigma_k) = 0 $ y demostraremos que los elementos del segundo paréntesis son mayores que $0$ . Tenemos:

$(x_i\sigma_i + x_j\sigma_j)(1 - \rho) + \rho\sum_k x_k \sigma_k = (x_i\sigma_i + x_j\sigma_j) + \rho(\sum_k x_k \sigma_k - x_i\sigma_i - x_j\sigma_j ) $

Tenga en cuenta que $a = x_i\sigma_i + x_j\sigma_j$ y $ b = \sum_k x_k \sigma_k - x_i\sigma_i - x_j\sigma_j $ son positivos, por lo que la línea definida por $ y = a + bx$ es creciente y cruza el eje horizontal para un $x$ (como $a$ es positivo). Denotaremos esto como $x$ por $x^*$ .

Así que $a + bx^* = 0 \iff x^* = \frac{-a}{b} \iff x^* = \frac{- (x_i\sigma_i + x_j\sigma_j)}{\sum_k x_k \sigma_k - x_i\sigma_i - x_j\sigma_j} \iff x^* = \frac{-1}{\frac{\sum_k x_k \sigma_k - x_i\sigma_i - x_j\sigma_j}{x_i\sigma_i + x_j\sigma_j}}$

Recordemos que, como suponemos una correlación constante, tenemos necesariamente $\rho \geq - \frac{1}{n-1}$

Por lo tanto, para obtener nuestro resultado, tenemos que demostrar que $x^* < - \frac{1}{n-1} \iff \frac{\sum_k x_k \sigma_k - x_i\sigma_i - x_j\sigma_j}{x_i\sigma_i + x_j\sigma_j} < n-1 $ .

Lo tenemos:

$\frac{\sum_k x_k \sigma_x - x_i\sigma_i - x_j\sigma_j}{x_i\sigma_i + x_j\sigma_j} = \frac{\sum_k x_k\sigma_k }{x_i\sigma_i + x_j\sigma_j} - 1$

Supongamos que $\frac{\sum_k x_k\sigma_k}{x_i\sigma_i + x_j\sigma_j} \geq n $ ,

$\iff \frac{x_i\sigma_i + x_j\sigma_j} {\sum_k x_k\sigma_k} \leq \frac{1}{n} \iff \frac{x_i\sigma_i} {\sum_k x_k\sigma_k} + \frac{ x_j\sigma_j} {\sum_k x_k\sigma_k} \leq \frac{1}{n} $

Como ocurre con todos los $i$ Lo tengo:

$\frac{x_1\sigma_1 + x_2\sigma_2 + ..+x_n\sigma_n } {\sum_k x_k\sigma_k} + \frac{ nx_j\sigma_j} {\sum_k x_k\sigma_k} \leq n\frac{1}{n} \iff 1 +\frac{ nx_j\sigma_j} {\sum_k x_k\sigma_k} \leq 1 $

Esto implica que $\frac{ nx_j\sigma_j} {\sum_k x_k\sigma_k} \leq 0$ lo cual es falso.

Así, $\frac{\sum_k x_k\sigma_k }{x_i\sigma_i + x_j\sigma_j} - 1 < n - 1$

Así, el segundo término del paréntesis es estrictamente mayor que $0$ y obtenemos el resultado $x_i\sigma_i = x_j \sigma_j$