Inclusión de empresas en la frontera eficiente de un conjunto de posibilidades de producción

Question

Estoy trabajando con el Análisis Envolvente de Datos de Cooper, y están repasando los Conjuntos de Posibilidad de Producción.

Presentan 9 empresas, cada una con dos entradas y una salida:

Gráficamente es fácil ver por qué las empresas (E,D,C) forman la frontera eficiente, sin embargo me cuesta encontrar una motivación matemática para la inclusión de la empresa D? ¿Cómo demostrar que sus ratios de input/output justifican su inclusión algebraicamente en lugar de gráficamente?

Answer 1

Aunque me hago eco de muchos de los sentimientos planteados por @AlecosPapadopoulos, tal vez esto sea útil para su comprensión. En definitiva, podemos considerar la frontera de eficiencia como las empresas que conforman las formas (o métodos de producción) más eficientes de generar un determinado producto. Por ejemplo, si nuestro paquete inicial de insumos fuera (enumerándolos en $(x_1, x_2)$ pares) $(2,5)$ la única empresa que puede generar una unidad de producción es la empresa E, de ahí su inclusión en la frontera de eficiencia.

Pero ¿qué pasa con cualquier paquete como $(4,3)$ o $(5,2)$ ? Está claro que las empresas A y D pueden producir una unidad de producto con el primer paquete, y las empresas D y F pueden generar una unidad de producto con el segundo paquete. Sin embargo, en ambos casos, sólo la empresa D es el productor más eficiente.

(¿Por qué nos importa? Tal vez si tratamos de considerar la empresa que satisface un problema de minimización de costes. Supongamos que el precio de cada unidad de $x_1$ es $1$ y el precio de cada unidad de $x_2$ es $2$ . ¿Qué empresa producirá con el menor coste? Los costes de producción de la empresa D son sólo $\$ 8 $ per unit of $ y $ (while both C and E's costs are $\$10$ por unidad de producción), y por tanto, si todos los bienes son indiferenciados las curvas de costes son constantes, la empresa D dominará el mercado).

Espero que esto aclare un poco las cosas dígame si he entendido mal su confusión.

Answer 2

Dejemos que $w_i > 0$ denotan el precio unitario del insumo $x_i$ , $i\in\{1,2\}$ . Consideremos el problema de identificar la empresa que puede producir 1 unidad de producto al menor coste dados los precios de los insumos $(w_1, w_2)$ . El conjunto de soluciones a este problema, denotado por $f_e$ dependerá de los precios de los insumos. En particular, dados los datos del problema, tenemos la siguiente solución : \begin{eqnarray*} f_e(w_1, w_2) = \begin{cases} \{C\} & \ \text{if } \frac{w_1}{w_2} < \frac{1}{4} \\ \{C, D\} & \ \text{if } \frac{w_1}{w_2} = \frac{1}{4} \\ \{D\} & \ \text{if } \frac{1}{4} < \frac{w_1}{w_2} < 1 \\ \{D, E\} & \ \text{if } \frac{w_1}{w_2} =1 \\ \{E\} & \ \text{if } \frac{w_1}{w_2} >1 \end{cases} \end{eqnarray*}