Resolución de la ecuación de Bootstrapping cuando la matriz no es cuadrada

Question

Estoy tratando de construir una curva de rendimiento de cupón cero para los bonos del gobierno de EE.UU. a partir de datos de mercado (cupones, valores nominales, precios, meses hasta el vencimiento) a través de Bootstrapping. Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo resolver la ecuación AP = F sobre aquí si tengo la matriz A tal que no es cuadrada. Actualmente tengo más columnas (que representan los meses entre cada pago de cupón) que filas (cada fila representa un bono con un número determinado de meses hasta el vencimiento). Por ejemplo, uno de los bonos que tengo tiene un cupón emitido cada 3 meses y el máximo de meses hasta el vencimiento entre los bonos es 360, lo que implica que mi matriz A tiene 120 columnas. Sin embargo, sólo tengo 60 filas ya que sólo tengo 60 bonos con un único mes hasta el vencimiento, dejando la matriz A como no cuadrada. Estoy seguro de que esto es fácilmente solucionable pero no he podido encontrar nada al respecto.

Gracias

Answer 1

Hay muchas formas de arrancar la curva del Tesoro. Empezaré hablando de mi preferencia personal.

El paso clave es seleccionar los valores adecuados que se incluirán en el procedimiento. Mi preferencia es utilizar 60 bonos del Tesoro que estén espaciados uniformemente (es decir, que venzan 6 meses después de cada uno). En el caso concreto de los bonos del Tesoro de EE.UU., es conveniente seleccionar los bonos del Tesoro subastados en los ciclos de febrero y agosto, ya que abarcan todo el espectro de vencimientos. Así pues, a día de hoy, se empezaría con el billete que vence el 15 de agosto de 2015, luego el que vence el 15 de febrero de 2016, ..., el 15 de febrero de 2045.

Con este esquema habrá algunas lagunas y tendrá que rellenarlas. Por ejemplo, no hay bonos con vencimiento el 15 de agosto de 2032, pero puede crear fácilmente "bonos hipotéticos" utilizando emisiones cercanas (en este caso, serían los 31 de febrero y los 36 de febrero).

Una vez creado este conjunto de muestras, es trivial crear una matriz cuadrada de flujos de caja. Dada la estructura de los flujos de caja de esta selección, esta matriz es casi seguramente invertible.

Por supuesto, esta no es la única forma de hacerlo. Otra estrategia popular consiste en utilizar sólo las emisiones en curso, conectar linealmente todos los rendimientos y asumir que esa es la curva a la par, y hacer un bootstrap a partir de estos bonos hipotéticos a la par.

En general, el bootstrapping de la curva del Tesoro no es una gran estrategia. Yo recomendaría buscar técnicas de ajuste de splines para el mercado del Tesoro, dado el gran número de emisiones pendientes.

Answer 2

Al multiplicar la transposición de $A$ a ambos lados, puedes hacer que sea una matriz cuadrada. Es decir $$A^T A P = A^T F.$$ Además, si $A^T A$ es invertible, se puede tener que $$P = \big(A^T A\big)^{-1}A^T F.$$

En general, para una matriz no cuadrada, o una matriz cuadrada, $A$ pero no es invertible, se puede emplear el enfoque de la descomposición del valor singular. Véase el libro Recetas numéricas en C .