Fijación de precios de las opciones con el puente browniano

Question

Digamos que tengo un activo que sigue un movimiento browniano aritmético $$ dX(t) = \sigma dW^\bot (t) $$ con $\sigma$ constante, y tengo los precios de las opciones vainilla en $X$ .

Introduzco un puente browniano $$ dY(t) = \nu dW(t) - \frac{\nu}{T} W(T) dt $$ con $\nu$ es constante, y también tengo la condición de ortogonalidad $$ dW(t)dW^\bot(t) = 0 $$

Desde $Y(T) =0$ Tendré en todo momento $t$ $$ E_t (X_T + Y_T - K)_+ = E_t(X_T - K)_+ $$

Pero, ¿cómo puedo demostrarlo explícitamente?

EDITAR

Para ser más claro, lo que quiero decir con probar explícitamente es comenzar con la observación de que desde $$ \sigma dW^\bot (t) + \nu dW(t) = \sqrt{\sigma^2 + \nu^2} dZ(t) $$ La expectativa puede escribirse como $$ E_t(X_T + Y_T - K)_+ = E_t \left( \sqrt{\sigma^2 + \nu^2}Z(T) - \nu W(T) - K \right)_+ $$ ¿Hay alguna manera de evaluar la expectativa anterior en el lado derecho, manteniendo la volatilidad $\sqrt{\sigma^2 + \nu^2}$ y seguir satisfaciendo el hecho de que debe ser igual al precio de la opción vainilla en el momento $t$ ?

Si $W(T)$ no estaban correlacionados con $Z(T)$ entonces podría aplicar el condicionamiento y evaluarlo fácilmente, pero a menos que me esté perdiendo algo no creo que sea posible evaluar la expectativa anterior sin el $\nu$ abandonando de nuevo porque $W(T)$ no es ortogonal a $Z(T)$ ¿verdad?

Básicamente lo que quiero hacer es tener una opción, que sigue siendo delta-hedgeable con $X$ sólo, y que tiene como volatilidad $\sqrt{\sigma^2 + \nu^2}$ , donde $\nu$ es el volatilidad histórica de $X$ y $\sigma$ es el volatilidad futura de $X$ . Las opciones vainilla sólo contienen la volatilidad futura, así que pensé que este truco con el puente Browian podría funcionar, pero no estoy seguro.

Cualquier otra idea sobre cómo conseguir lo que quiero con o sin puente browniano será bienvenida.

Answer 1

Para demostrar que $Y(T)=0$ , se integra el SDE :

$$\int_{0}^{T}dY(t) = \int_{0}^{T}\nu dW(t) - \frac{\nu}{T} \int_{0}^{T}W(T) dt$$

$$Y(T)-Y(0)=\nu\left( W(T)-W(0)\right)- \frac{\nu}{T}W(T)\left(T-0\right)$$

Por lo tanto, $$Y(T)=Y(0)$$

Te olvidaste de escribir las condiciones iniciales pero supongo que $Y(0)=0.$

EDITAR :

La dependencia en $\nu$ es irrelevante a la hora de fijar el precio de esa opción como $Y_T=0$ . El segundo término es sólo una función de $\sigma$ .

Si se fija el precio, entonces no se puede fijar $\sigma$ (Price/Bachelier es una biyección). De alguna manera has decidido introducir el puente browniano, y lo que has escrito es correcto. Sin embargo, $Z(T)$ y $W(T)$ están correlacionados, $$cov( \sqrt{\sigma^2 + \nu^2}Z(T) ,\nu W(T))=\nu^2 T$$ y si se deriva la distribución de $\sqrt{\sigma^2 + \nu^2}Z(T) -\nu W(T)$ . la $\nu$ simplemente desaparece. A fin de cuentas, tu modelo es un modelo de Bachelier. Tu motivación sigue sin estar clara para mí. El precio de la opción te da la volatilidad futura. La volatilidad histórica te da la dinámica pasada... que es irrelevante en la fijación de precios de la opción. ¿Intentas descomponer la volatilidad implícita en una volatilidad histórica y otro componente?