Momentos superiores de un straddle

Question

Siguiendo la lógica de Ben-Meir y Schiff (2012) y esto pregunta el primer, segundo, tercer y cuarto momento bruto de una puesta son:

La similitud, para una llamada es la siguiente:

donde

y

S = precio al contado, K = precio de ejercicio, r = tasa libre de riesgo, T = tiempo de maduración y sigma es la volatilidad implícita.

Quiero saber cuál es el tercer y cuarto momento bruto de un straddle. Un straddle consiste en una call y una put Si S > K al vencimiento. entonces la opción de compra tendrá un valor de S - K y la venta no tendrá ningún valor. Del mismo modo, si S < K la opción de compra no tendrá ningún valor, y la opción de venta valdrá S - K . Esto se puede escribir como:

Como resultado, el valor final esperado es igual a:

Esto también se puede escribir como:

Lo que se puede simplificar a:

Siguiendo esta lógica para los otros momentos que me tocan:

Según la teoría sobre cumulantes si dos variables son independientes, el n-th -de orden de su suma es igual a la suma de sus n-th -orden de los cumulantes. Inspeccionando los momentos finales en bruto del straddle parece que esto se aplica. Sin embargo, una call y una put no son independientes. Cuando el valor de una opción de compra aumenta/disminuye, el valor de una opción de venta disminuye/aumenta, por lo que los dos tipos de opciones están correlacionados negativamente. Este "hecho" y los resultados finales me hacen pensar que utilicé los supuestos incorrectos.

Pregunta: ¿Son correctos los momentos brutos definidos para un straddle o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Dejemos que $C=(S-K)^+$ y $P=(K-S)^+$ . Entonces es claro, para cualquier entero positivo $i$ y $j$ , \begin{align*} C^i P^j = 0. \end{align*} En consecuencia, para cualquier número entero positivo $n$ , \begin{align*} (C+P)^n = C^n + P^n. \end{align*} Su conclusión es ahora inmediata.

Answer 2

Una manera fácil de comprobar si has cometido un error durante un cálculo largo como tu derivación de la inclinación para un straddle es evaluar numéricamente la integral original. Sería una forma de hacerlo en Mathematica.