La varianza de un straddle (Black Scholes)

Question

Estoy tratando de determinar la varianza de la liquidación de un straddle. Para la pone y llamadas de forma individual:

Var[P] = E[P^2] - E[P]^2
Var[C] = E[C^2] - E[C]^2

donde: $$ E[P] \text = e^{-r T}\int _0{}^k\frac{(k-S) }{\sqrt{2 \pi } b S} e^{-\frac{(\log (S)-a)^2}{2 b^2}}dS $$

$$ E[C] \text = e^{-r T}\int _k{}^{\infty}\frac{(S-k) }{\sqrt{2 \pi } b S} e^{-\frac{(\log (S)-a)^2}{2 b^2}}dS $$ $$ E[P^2] \text = e^{-2r T}\int _0{}^k\frac{(k-S)^2 }{\sqrt{2 \pi } b S} e^{-\frac{(\log (S)-a)^2}{2 b^2}}dS $$

$$ E[C^2] \text = e^{-2r T}\int _k{}^{\infty}\frac{(S-k)^2}{\sqrt{2 \pi } b S} e^{-\frac{(\log (S)-a)^2}{2 b^2}}dS $$ Donde: $$ a=T \left(r-\frac{\sigma ^2}{2}\right)+\log \left(S_0\right) $$ y $$ b=\sigma \sqrt{T} $$

These results become:

$$ E[P] = k \Phi \left(-d_2\right) e^{-r T}-S_0 \Phi \left(-d_1\right) $$ $$ E[C] = S_0 \Phi \left(d_1\right)-k \Phi \left(d_2\right) e^{-r T} $$ $$ E[P^2] = k^2 \Phi \left(-d_2\right) e^{-2 r T}-2 k S_0 \Phi \left(-d_1\right) e^{-r T}+S_0^2 \Phi \left(d_2-2 d_1\right) e^{\sigma ^2 T} $$ $$ E[C^2] = k^2 \Phi \left(d_2\right) e^{-2 r T}-2 k S_0 \Phi \left(d_1\right) e^{-r T}+S_0^2 \Phi \left(2 d_1-d_2\right) e^{\sigma ^2 T} $$

Tenga en cuenta que $$ d_1=\frac{-\log (k)+T \left(r-\frac{\sigma ^2}{2}\right)+\log \left(S_0\right)+\sigma ^2 T}{\sigma \sqrt{T}} $$ y $$ d_2=d_1-\sigma \sqrt{T} $$

donde:

S0 = initial price
S = price
k = strike
r = interest rate
T = time to expiration
sigma = implied volatility
Phi = standard normal variable

Estos resultados también se muestran en este documento: https://arxiv.org/pdf/1204.3452.pdf

Mi pregunta: ¿cómo combinar Var[P] y Var[C] para obtener Var[arevalo]?

Desde C y P están negativamente correlacionados (¿verdad?), podemos usar esto? $$ Var[arevalo] = Var[P] + Var[C] - 2\sqrt{Var[P] Var[C] } $$

Este parece bien, no estoy seguro. Si nosotros en lugar de empezar con la rentabilidad para el straddle como una función definida a tramos: $$ payoff_{straddle} = \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} k-S & 0<S<k \\ S-k & S\geq k \\ \end{array} \\ \end{array} $$

entonces: $$ E[arevalo] \text = e^{-r T}\int _0{}^{\infty}\frac{payoff_{straddle} }{\sqrt{2 \pi } b S} e^{-\frac{(\log (S)-a)^2}{2 b^2}}dS $$

Pero, después de separar las diferentes piezas de la función definida a tramos, esto se convierte en $$ E[arevalo] \text = e^{-r T}(\int _0{}^k\frac{(k-S) }{\sqrt{2 \pi } b S} e^{-\frac{(\log (S)-a)^2}{2 b^2}}dS +\int _k{}^{\infty}\frac{(S-k) }{\sqrt{2 \pi } b S} e^{-\frac{(\log (S)-a)^2}{2 b^2}}dS) $$ que es simplemente $$ E[arevalo] = E[C] + E[P] $$ y, del mismo modo $$ E[straddle^2] =E[C^2] + E[P^2] $$ Var[arevalo] sería: $$ Var[arevalo] = E[straddle^2] - E[arevalo]^2 = E[C^2] + E[P^2] - E[P]^2 - E[C]^2 - 2E[C]E[P] $$ $$ Var[arevalo] = Var[C] + Var[P] - 2 E[C]E[P] $$

El segundo enfoque parece más robusto para mí, ya estamos empezando con rentabilidad para la posición y construir a partir de ahí. Tal vez me estoy perdiendo algo, aunque.Pensamientos sobre el método correcto?

Answer 1

Suponiendo que \begin{align*} C &= e^{-rT}(S-K)^+,\\ P &= e^{-rT}(K-S)^+, \end{align*} y \begin{align*} straddle = C+ P, \end{align*} entonces la fórmula \begin{align*} Var[straddle] = Var[C] + Var[P] - 2 E[C]E[P] \end{align*} es correcto. Sin embargo, la fórmula \begin{align*} Var[straddle] = Var[P] + Var[C] - 2\sqrt{Var[P] Var[C] } \end{align*} está mal, como $C$ e $P$ no son perfectamente negativamente corregido. Específicamente, desde $CP=0$, \begin{align*} Covar(C, P) &= -E(C)E(P)\\ &\neq -\sqrt{Var[P] Var[C] }. \end{align*}