¿Por qué tenemos que dividir la información sobre el mercado y la información por defecto en 2 filtraciones distintas?

Question

El enfoque de forma reducida para modelar los derivados con riesgo de crédito normalmente asume la existencia de dos filtraciones:

• Una filtración del mercado $(\mathscr{F}_t)_{t\geq0}$ llevar información económica y de mercado (como los precios de las acciones o los tipos de interés); y
• Una filtración por defecto $(\mathscr{H}_t)_{t\geq0}$ que lleva información sobre el tiempo de impago de la contraparte en el ámbito.

La fijación de precios se realiza entonces bajo una filtración completa $(\mathscr{G}_t)_{t\geq0}$ definido como: $$\forall t\geq 0, \quad\mathscr{G}_t:=\mathscr{F}_t\vee\mathscr{H}_t$$ ¿Por qué hay que dividir la información en dos filtraciones distintas? O bien, ¿bajo qué supuestos de modelización es necesario este marco? La mayoría de los trabajos sobre la fijación de precios de los créditos con riesgo de crédito hacen fácilmente la (H)-hipótesis : cualquier $\mathscr{F}_t$ -martingale sigue siendo un $\mathscr{G}_t$ -martingale. Me pregunto, ¿qué sentido tiene este enrevesado escenario? Debe haber una razón técnica específica, pero aún no he encontrado ningún documento que lo explique claramente.

Ser el abogado del diablo (1) Consideremos un mercado con las siguientes características:

• El mercado incluye un activo negociado $S$ impulsado por un movimiento browniano $(W_t)_{t\geq0}$ .
• Existe un proceso por defecto $H_t:=\pmb{1}_{\{\tau\geq t\}}$ , donde $\tau$ es la hora por defecto.
• Existe una tasa de riesgo determinista $\gamma_t$ que especifica la distribución del proceso por defecto.
• El precio del activo y el tiempo de incumplimiento son independientes.
• El mercado está dotado de una única filtración $(\mathscr{F}_t)_{t\geq0}$ generado por $W_t$ y $H_t$ .

Queremos ponerle precio a un $\mathscr{F}_T$ -Cuánto se puede reclamar de forma contingente $\xi$ escrito en el activo $S$ y están sujetos al riesgo de crédito, $T>t$ . Entonces: $$\begin{align} V_t&=E\left(\left.\xi\pmb{1}_{\{\tau>T\}}\right|\mathscr{F}_t\right) \\ &=E\left(\left.\xi\right|\mathscr{F}_t\right) E\left(\left.\pmb{1}_{\{\tau>T\}}\right|\mathscr{F}_t\right) \\ &=\upsilon_t \left(1-P\left(\left.\tau\leq T\right|\mathscr{F}_t\right)\right) \\[2.5pt] &=\upsilon_te^{\Gamma_t-\Gamma_T} \end{align}$$ donde $V$ (resp. $\upsilon$ ) es el valor incumplible (o sin riesgo) del crédito y $\Gamma_t$ se define como: $$\Gamma_t:=\int_0^t\gamma_s\text{d}s$$ No veo ningún problema con esta configuración.

_{(1) Edición: mi ejemplo inicial estaba equivocado, utilicé incorrectamente la ley de la torre para las expectativas condicionales anidadas dadas <span class="math-container">$\mathscr{F}_t$</span> contiene información sobre ambos <span class="math-container">$W_t$</span> y <span class="math-container">$H_t$</span> por lo que <span class="math-container">$\mathscr{F}_t\notin\sigma(W_s, s\leq T)$</span> . He modificado el ejemplo para incluir un supuesto de independencia, pero la pregunta sigue siendo: ¿cuándo y por qué necesitamos la configuración con dos filtraciones?}

Answer 1

Creo que tienes toda la razón si la tasa de riesgo es determinista, aunque creo que olvidas un factor de descuento en tu ejemplo. Pero a veces no se puede suponer que la tasa de riesgo sea determinista (por ejemplo, al fijar el precio del CVA y el DVA). En este caso, se supone que la tasa de riesgo sigue un proceso estocástico, de manera que $\mathbf{1}_{\{\tau>t\}}$ es el primer salto de un proceso de Cox.

Es habitual suponer que la tasa de riesgo sigue un proceso de Cox-Ingersoll-Ross (o extensiones del mismo), que es un proceso de difusión de root cuadrada con reversión de la media con SDE $$d \gamma_t=\kappa(\theta-\gamma_t)dt+\sigma\sqrt{\gamma_t}dW_t$$ con la restricción de Feller $2\kappa\theta\geq \sigma^2$ para asegurarse de que el origen es inaccesible forzando $\gamma_t>0$ para todos $t$ .

En general, se supone que la tasa de riesgo se adapta a la filtración generada por las variables del mercado (sin incumplimiento): $\mathscr{F}_t$ . En función de esta información, el número de saltos entre tiempos $s<t$ es Poisson y la probabilidad de $n$ salta, por lo tanto, viene dado por $$\frac{\left(\Gamma_{t}-\Gamma_{s}\right)^{n}}{n!}e^{-\left(\Gamma_{t}-\Gamma_{s}\right)}$$ La probabilidad de que los saltos sean nulos (no hay incumplimiento) viene dada, por tanto, por $e^{-\left(\Gamma_{t}-\Gamma_{s}\right)}$ .

Denote $D(t,T)=e^{-\int_t^Tr_u du}$ de manera que la valoración neutral del riesgo de $\xi$ se convierte en $$\tag{1}V_t=\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi\cdot \mathbf{1}_{\{\tau>T\}}\middle|\mathscr{G}_t\right]$$ Tenga en cuenta que $$\tag{2}\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{\tau>T\}}\middle|\mathscr{F}_T\vee\mathscr{H}_t\right]=\mathbf{1}_{\{\tau>t\}}e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)}$$ Y tenga en cuenta que el acondicionamiento en la filtración completa sólo produciría $\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{\tau>T\}}\middle| \mathscr{G}_T\right]=\mathbf{1}_{\{\tau>T\}}$ lo que no simplifica la expresión. Esto significa que podemos simplificar la valoración neutral al riesgo utilizando la propiedad de la torre \begin{align*} V_t&=\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi \cdot\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{\tau>T\}}\middle|\mathscr{F}_T\vee\mathscr{H}_t\right]\middle|\mathscr{G}_t\right]\\ &=\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi \cdot\mathbf{1}_{\{\tau>t\}}e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)}\middle|\mathscr{G}_t\right]\\ &=\mathbf{1}_{\{\tau>t\}}\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi \cdot e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)}\middle|\mathscr{G}_t\right]\\ \tag{3} &=\mathbf{1}_{\{\tau>t\}}\mathbb{E}\left[D(t,T)\cdot\xi \cdot e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)}\middle|\mathscr{F}_t\right] \end{align*} donde la penúltima igualdad se debe a $\mathbf{1}_{\{\tau>t\}}$ ser $\mathscr{G}_{t}$ -medible y la última igualdad se debe a que la expectativa ya no depende de la información por defecto. Para simplificar aún más podemos suponer la independencia entre el factor de descuento, el $T$ -reclamación y la tasa de riesgo para obtener $$V_{t}=\mathbf{1}_{\{\tau>t\}}P(t,T)v_{t}\mathbb{E}\left[ e^{-\left(\Gamma_T-\Gamma_t\right)}\middle|\mathscr{F}_t\right]$$ donde $P(t,T)$ es un bono de cupón cero y la expectativa es la probabilidad de no impago entre $t$ y $T$ . Esta probabilidad puede extraerse de los diferenciales de los Credit Default Swaps correspondientes, por ejemplo.

Si no podemos suponer la independencia (por ejemplo, cuando existe el riesgo de equivocación), hay que suponer la dinámica estocástica de la tasa de riesgo. Por lo tanto, la razón de utilizar dos filtrados diferentes es poder simplificar la expectativa cuando la tasa de riesgo es estocástica.

Answer 2

Su ${\cal F}$ es en realidad ${\cal G}$ , que es el ya ampliado espacio de filtración/probabilidad. Por lo tanto, la afirmación aquí parece ser que no tenemos que considerar la filtración más pequeña, de mercado, ${\cal F}$ .

Pero, antes de invocar la hipótesis (H), sólo esto es cierto :

$$ E\left[1_{\tau>T}|{\cal G}_t\right] = 1_{\tau>t} E\left[e^{\Gamma_t -\Gamma_T}|{\cal F}_t\right]\left(\not= e^{\Gamma_t -\Gamma_T}\right), $$

cuando $\gamma_t$ es un proceso estocástico (nótese también la presencia de $1_{\tau>t}$ incluso cuando es determinista).

En general, para $X$ ${\cal F}_T$ -medible (e integrable), tenemos:

$$ E\left[X1_{\tau>T}|{\cal G}_t\right] = 1_{\tau>t} E\left[Xe^{\Gamma_t -\Gamma_T}|{\cal F}_t\right]\left(\not= E\left[X|{\cal F}_t\right]e^{\Gamma_t -\Gamma_T}\right). $$

La hipótesis (H) equivale a $\sigma$ -algebras $ {\cal F}_\infty $ y ${\cal G}_t$ ser independiente de las condiciones dado ${\cal F}_t$ en $Q$ para todos $t\geq 0$ . También equivale a:

$$ P(\tau \leq t |{\cal F}_t)=P(\tau \leq t |{\cal F}_\infty) $$

para todos $t\geq 0$ .

En efecto, el canónico construcción del tiempo de incumplimiento, basado en una ${\cal F}$ -Proceso de medición progresiva de la tasa de peligrosidad $\gamma_t$ (no necesita ser determinista) y una variable aleatoria $\zeta$ que es uniforme en $[0,1]$ e independiente de ${\cal F}$ , con el apoyo del espacio ampliado $(\Omega, {\cal G}, P)$ con $$ \tau := \inf \; \{t\geq 0| e^{-\Gamma_t} < \zeta \}, $$ implica automáticamente que la hipótesis (H) se cumple. (Los procesos de Cox también lo hacen).

Sí, es cierto:

$$ P(\tau >t |{\cal F}_\infty)= P(e^{-\Gamma_t} \geq \zeta |{\cal F}_\infty) = e^{-\Gamma_t}$$

y

$$ P(\tau >t |{\cal F}_t)= E[P(e^{-\Gamma_t} \geq \zeta |{\cal F}_\infty)|{\cal F}_t] = e^{-\Gamma_t},$$

como $\Gamma_t$ es ${\cal F}_t$ -Medible.

Más sobre la hipótesis (H) información interpretación aquí .