Estadística C cuando sólo se identifica una estimación

Question

Mi pregunta está motivada por El artículo de Do, Joshi y Stopler "¿Puede la política medioambiental reducir la mortalidad infantil? Evidence from the Ganga Pollution Cases" .

Una forma simplificada de sus modelos que describe la cuestión es:

$$y_i =\beta_0 +\beta_1 X_i +\varepsilon_i $$

Que se estimaría (1) utilizando sólo $Z_{1i}$ como instrumento y (2) utilizando $Z_{1i}$ y $Z_{2i}$ como instrumentos. El objetivo es determinar si $Z_{2i}$ es un instrumento válido (no correlacionado con $\varepsilon_i$ ). Ellos "saben" $Z_{1i}$ es válido.

Su método consiste en utilizar un estadístico C, que, por lo que sé, es la diferencia de los estadísticos de prueba de Sargan-Hansen entre los dos modelos, y se distribuiría como $\chi^2_1$ porque el número de instrumentos difiere en 1.

Mi pregunta es, ¿la prueba Sargan-Hansen de (1) no daría simplemente 0? La ecuación se identifica exactamente. Por lo tanto, ¿no se reduce el estadístico C a una prueba de Sargan-Hansen de (2)? ¿Hay algo que se me escapa? ¿Quizás están tratando de demostrar que están al tanto de las complicadas técnicas de señalización de la inteligencia? ¿O es más apropiado llamarlo estadístico C debido a su naturaleza comparativa?

¡TIA!

Answer 1

Sí, tiene razón en cuanto a la conclusión de que $J_{n1}=0$ y por lo tanto $C_{n}=J_{n}-J_{n1}=J_{n}$ . Sin embargo, a pesar de que los estadísticos de la prueba son los mismos, las distribuciones asintóticas y los valores críticos son los mismos, se derivan de un procedimiento diferente bajo diferentes hipótesis nulas, prefiero seguir utilizando el nombre de prueba C en lugar de prueba Sargan-Hansen.