El índice de precios y demanda en la utilidad homotética de Kimball

Question

Supongamos que con las preferencias de Kimball, la utilidad $Q$ de consumir $\left\{q_{\omega}\right\}_{\omega \in \Omega}$ viene dada implícitamente por $$\int_{\omega \in \Omega} Y\left(\frac{q_{\omega}}{Q}\right) d \omega=1$$ . El consumidor maximiza así $Q$ sujeta a la restricción presupuestaria $\int_{\omega \in \Omega} p_{\omega} q_{\omega} d \omega=y$ y esta función implícita.

Al resolver este problema, podemos obtener $$\lambda \frac{p_{\omega}}{\delta}=Y^{\prime}\left(\frac{q_{\omega}}{Q}\right)$$ y, por tanto, la demanda de cada variedad $$q_{\omega}=Q Y^{\prime-1}(\frac{\lambda p_{\omega}}{\delta})$$ , donde $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange para la restricción presupuestaria y $\frac{1}{{\delta}}=\int_{\omega \in \Omega} Y^{\prime}\left(\frac{q_{\omega}}{Q}\right) \frac{q_{\omega}}{Q} d \omega$ .

Lo que no entiendo es que los periódicos que utilizan esta preferencia suelen fijar el índice de precios $P \equiv \delta /\lambda$ y denota $\delta$ como índice de demanda. Mientras que en el caso de la CES, el índice de precios es $1/\lambda$ . Y manipulo los BDC en este caso Kimball y encuentro que $Q/\lambda=y$ Por lo tanto, tendría sentido si se establece $P \equiv 1/\lambda$ . Entonces, ¿por qué establecer $P \equiv \delta /\lambda$ ? Además, ¿por qué el $\delta$ término un índice de demanda? En particular, dado el argumento de este responder parece que $\delta$ es exactamente la función implícita y, por tanto, debería ser 1, lo que me confunde.

Como referencia, en un reciente wp de Baqaee & Farhi ("The Darwinian Returns to Scale") discuten esta cuestión: "este índice de precios $P$ no coincide con el índice de precios ideal $P^{Y}$ para el consumidor representativo: deflactando la renta en $P$ no produce bienestar. De hecho, $d \log P=d \log \bar{\delta}+d \log P^{Y}$ . Ya que en general, $\bar{\delta}$ no es una constante, $d \log P \neq d \log P^{Y}$ . Sólo en el CES coinciden dos índices de precios desde entonces $\bar{\delta}=\sigma /(\sigma-1)$ es constante. En adelante, nos referiremos a P como "el" índice de precios sin más calificativos, a pesar de que no es el índice de precios ideal".

Actualización : Al leer a Baqaee y Farhi me hago a la idea de que esta manipulación del índice de precios ofrece una expresión ordenada de la demanda relativa y el precio relativo. Sin embargo, sigo sin entender del todo cuál es el papel que $1/\delta = Q/\gamma$ juega en esta función de demanda revisada, y cómo, como resultado, la utilidad de Kimball difiere del caso CES habitual. Lo más importante es que supongo que esto está relacionado con lo que Baqaee y Farhi afirman: "Los modelos de competencia monopolística con demanda de Kimball son parsimoniosos en el sentido de que la competencia entre variedades está mediada por el índice de precios; cada variedad compite con el índice de precios. La flexibilidad del sistema de demanda proviene del hecho de que permite que diferentes variedades se enfrenten a diferentes "intensidades" de competencia, tal y como se recoge en las diferentes elasticidades de la curva de demanda en diferentes puntos". Esta parece ser la esencia de la demanda de Kimball, pero no entiendo cómo es que "la competencia entre variedades está mediada por el índice de precios; cada variedad compite con el índice de precios" y por qué no es así en la CES.

Answer 1

El problema es el siguiente:

$$ \begin{align*} \max_{Q, q_\omega} Q \text{ s.t. } &\int Y\left(q_\omega/Q\right) d\omega = 1,\\ &\int p_\omega q_\omega d\omega = y \end{align*} $$

Las condiciones de primer orden dan: $$ 1 - \gamma \int Y'\left(\frac{q_\omega}{Q}\right) \frac{q_{\omega}}{Q^2} d \omega = 0,\\ \gamma Y'\left(\frac{q_\omega}{Q}\right)\frac{1}{Q} - \lambda p_\omega = 0 $$ Entonces: $$ Y' \left(\frac{q_\omega}{Q}\right) = \lambda \frac{p_\omega}{\gamma/Q} $$ Así que tenemos que $\delta = \gamma/Q$ .

Lo que no entiendo es que los periódicos que utilizan esta preferencia suelen fijar el índice de precios $P = \delta/\lambda$ y denota $\delta$ como índice de demanda. Mientras que en el caso de la CES, el índice de precios es $1/\lambda$ .

Creo que la respuesta ya la han dado los propios Baquee y Farhi.

Si definimos $P = \gamma/(Q \lambda) = \delta/\lambda$ entonces podemos escribir: $$ \frac{q_\omega}{Q} = Y'^{-1}\left(\frac{p_\omega}{P}\right) $$ Utilizando $Q$ como índice de cantidad, tenemos en el lado izquierdo el " normalizado " para bien $\omega$ y a la derecha tenemos una función del " normalizado ". Bajo este definición Por lo tanto, se puede interpretar $Y'^{-1}$ como función de demanda.

Por otro lado, si se utiliza $P = 1/\lambda$ que se obtiene al invertir $Y'$ en la condición de primer orden que: $$ \frac{q_\omega}{Q} = Y'^{-1}\left(\frac{Q}{\gamma} \frac{p_\omega}{P}\right). $$ El lado derecho incluye ahora también el índice de cantidad $Q$ , por lo que esto no toma el " formulario " de una función de demanda.

Como conclusión, creo que la idea principal de definir $P$ de esta manera es obtener una bonita expresión e interpretación de las demandas normalizadas en función de unos precios normalizados.