Kimball (1995) define la producción del bien final ( $Y$ ) con bienes intermedios $y_l$ en su ecuación (1) como
$$ 1 = \int_0^1 G\left(\frac{y_l}{Y}\right) dl $$
con $G(1) = 1$ , $G'(x) > 0$ y $G''(x) < 0$ .
Nunca había visto una construcción así. ¿Qué hace el $1$ en la media del lado izquierdo, ¿es una normalización o alguna construcción de costes? Una introducción a este tipo de función de producción sería muy apreciada.
Algunas aportaciones:
Kimball asume una producción de retorno a escala constante (CRS) del bien final $Y$ de los bienes intermedios (y en esta función no intervienen otros insumos). Si pasamos al espacio discreto por un momento, esto significa que tendríamos algo así como
$$Y = F(y_1,...,y_l,...,y_m)$$
Como se trata de una función CRS, tenemos
$$1 = F\left(\frac {y_1}{Y},...,\frac {y_l}{Y},...\frac {y_m}{Y}\right)$$
Pero además, a partir del teorema de Euler para funciones homogéneas tenemos
$$Y = \sum_{i=1}^m \frac {\partial F}{\partial y_i}\cdot y_i \implies 1 = \sum_{i=1}^m \frac {\partial F}{\partial y_i}\cdot\frac{ y_i}{Y}$$
Combinar y manipular el índice en $[0,1]$ -continuidad obtenemos algo así como
$$1 = F\left(\frac {y_1}{Y},...,\frac {y_l}{Y},...\frac {y_m}{Y}\right) =\sum_{i=1}^m \frac {\partial F}{\partial y_i}\cdot\frac{ y_i}{Y}\rightarrow \int_0^1\left[\frac {\partial F}{\partial y_l}\cdot\frac{ y_l}{Y}\right]{\rm d}l$$
En cierto sentido, $G(y_l/Y)$ es la elasticidad de la producción final con respecto al $l$ -el bien intermedio. Dados los supuestos de $G()$ En este caso, se descarta una función de producción CRS Cobb-Douglas, en la que las elasticidades no sólo suman a la unidad, sino que son constantes, y se parece, por ejemplo, a una función de producción C.E.S. con rendimientos constantes a escala, en la que las elasticidades son variables pero siempre suman a la unidad.
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