Supongamos que un consumidor cuyos ingresos son $b$ tiene una función de utilidad dada por $U(x,y) = 2xy+y^2$ con el precio de $x$ ser $p_x$ y el precio de $y$ ser $p_y$ .
Dibuje la curva precio-consumo suponiendo $y$ es un bien inferior (mantener el precio de $x$ constante).
Si establecemos el Lagrangiano $$ L = 2xy+y^2 + \lambda \cdot (b - p_xx-p_yy) $$
y resolver el problema de maximización, terminaremos con
$$x(p_x,p_y,b) = \left( \frac{p_y-p_x}{2p_xp_y - p_x^2} \right) \cdot b, \,\,\,\, y(p_x,p_y,b) = \left( \frac{p_x}{2p_xp_y - p_x^2} \right) \cdot b $$
Si $y$ es inferior, entonces debemos tener (considerando que la renta y los precios son estrictamente positivos)
$$ \frac{\partial y(p_x,p_y,b)}{\partial b} < 0 \implies \left( \frac{p_x}{2p_xp_y - p_x^2} \right) < 0 \Leftrightarrow 2p_xp_y - p_x^2 < 0 $$
Sin embargo, para que la cantidad consumida de $y$ para ser no negativo, debemos tener
$$ \left( \frac{p_x}{2p_xp_y - p_x^2} \right) \cdot b \geq 0 \Leftrightarrow 2p_xp_y - p_x^2 \geq 0 $$
Así, podemos concluir que si la demanda de $y$ debe ser no negativo a precios e ingresos estrictamente positivos, entonces $y$ no puede ser un bien inferior.
Sin embargo, si respetamos la condición dada por la no negatividad de $y$ podemos trazar la curva precio-consumo. Tomando los siguientes pares de precios
$$ (p_x,p_y) = \{ (1,1),(1,3),(1,5) \}$$
y dejar que $b = 48$ Tendremos:
$$\begin{cases} x(1,1,48) = 0, y(1,1,48) = 48 \\ x(1,3,48) = 9.60, y(1,3,48) = 9.60 \\ x(1,5,48) \approx 21.34, y(1,5,48) \approx 5.34 \end{cases}$$
Trazando estos valores en un gráfico, tenemos:
¿Es correcta mi respuesta?
Gracias.
