Expectativa y varianza del movimiento browniano estándar

Question

Suponiendo que el precio de las acciones sigue el modelo

$ S(t) = S(0) exp ( mt (^2/ 2) t + W(t) ) , $ donde W(t) es un movimiento browniano estándar; > 0, S(0) > 0, m son algunas constantes.

¿Cuál es la expectativa y la varianza de S(2t)?

Expectativa:

$E[S(2t)]=E[S(0)exp(2mt-(t\sigma^2)+\sigma W(2t)] = $

$S(0)E[exp(2mt-(t\sigma^2)+\sigma W(2t))] = S(0)exp(2mt-\sigma^2 t)E[exp(\sigma W(2t)]$

usando eso $W(2t)$ es $N(0,2t)$ Lo entiendo. $W(2t)=\sqrt{2t} Z$ , donde $Z$ es $N(0,1)$ .

$S(0)exp(2mt-\sigma^2 t)E[exp(\sigma \sqrt{2t} Z)]$ =

$S(0)exp(2mt-\sigma^2 t)exp(\sigma \sqrt{2t})E[e^{Z}] =$

$S(0)exp(2mt-\sigma^2 t)exp(\sigma \sqrt{2t})$

¿Es correcta esta solución?

Variación: Asumiendo que la expectativa está correctamente resuelta, podría usar simplemente eso $Var(S(2t))= E[(S(2t))^2] - E[S(2t)]^2$ ?

Answer 1

No porque $$ E(e^Z)=e^{\frac{1}{2}}\neq1 $$

De manera más general: $$ N \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)\\ E(e^{Nt})=MGF_{\mathcal N(\mu, \sigma^2)}(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2} $$

Las últimas líneas deberían ser: $$ S(0)exp(2mt-\sigma^2 t)exp(\sigma \sqrt{2t})E[e^{Z}] =\\ S(0)exp(2mt-\sigma^2 t)exp(\sigma \sqrt{2t})e^{\frac{1}{2}} $$

Por lo demás, es correcto.