Fuerza de interés polinomio de tercer grado

Question

Sólo estoy luchando con una pregunta aquí, cualquier ayuda sería apreciada.

Para sus depósitos, un banco ofrece una fuerza de interés anual durante un año determinado que equivale al 4,99% al principio del año, al 5,33% después de tres meses, 5,75% a los seis meses y 6,53% a los nueve meses. Calcule el importe acumulado al final del año de un depósito de 78.000 $ al principio del año, suponiendo que la fuerza del interés anual es un tercio grado del tiempo a lo largo del año.

Cualquier consejo o sugerencia útil sería genial, no estoy buscando la respuesta sólo un método que pueda recordar.

Answer 1

Corregir dos puntos de la, por otra parte, estupenda respuesta de @AlexC:

1. Los puntos dados son de la forma $(t, r(t))$ : $$\begin{eqnarray*}\left(0,\frac{499}{10^4}\right),& \left(\frac14,\frac{533}{10^4}\right),\\ \left(\frac12, \frac{575}{10^4}\right),& \left(\frac34,\frac{653}{10^4}\right).\end{eqnarray*}$$ El polinomio cúbico $r(t)=at^3+bt^2+ct+d$ por lo tanto no es tan malo: tiene $d=499\cdot 10^{-4}$ y $$\begin{eqnarray*}a \cdot 2^{-6}+b\cdot 2^{-4}+c\cdot 2^{-2}+d=533\cdot 10^{-4}\\ a \cdot 2^{-3}+b\cdot 2^{-2}+c\cdot 2^{-1}+d=575\cdot 10^{-4}\\ a \cdot 3^32^{-6}+b\cdot 3^22^{-4}+c\cdot 3\cdot2^{-2}+d=653\cdot 10^{-4}\end{eqnarray*}$$
2. El importe acumulado es $A(1)=A(0)\cdot e^{\int_0^1 r(t)\,dt}$ donde $A(0)=\$ 78,000$.

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Aquí hay algunos detalles sobre la búsqueda $a$ , $b$ y $c$ :

$$\begin{eqnarray*}a \cdot 2^{-2}+b+c\cdot 2^{2}+d\cdot 2^4=533\cdot 5^{-4}\\ a \cdot 2^{1}+b\cdot 2^{2}+c\cdot 2^{3}+d\cdot 2^4=575\cdot 5^{-4}\\ a \cdot 3^32^{-2}+b\cdot 3^2+c\cdot 3\cdot2^{2}+d\cdot 2^4=653\cdot 5^{-4}\end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*}\frac14a+b+4c+16d=533\cdot 5^{-4}\\ 2a+4b+8c+16d=575\cdot 5^{-4}\\ \frac{27}4a+9b+12c+16d=653\cdot 5^{-4}\end{eqnarray*}$$

Nota $16d=499\cdot 5^{-4}$ por lo que esto se convierte en $$\begin{eqnarray*}\frac14a+b+4c=34\cdot 5^{-4}\\ 2a+4b+8c=76\cdot 5^{-4}\\ \frac{27}4a+9b+12c=154\cdot 5^{-4}\end{eqnarray*}$$

$$\begin{bmatrix}\frac14&1&4\\ 2&4&8\\ \frac{27}4&9&12\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}2&-2&\frac23\\ -\frac52&2&-\frac12\\ \frac34&-\frac38&\frac1{12}\end{bmatrix}$$ así que $$\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}=5^{-4}\begin{bmatrix}2&-2&\frac23\\ -\frac52&2&-\frac12\\ \frac34&-\frac38&\frac1{12}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}34\\ 76\\ 154\end{bmatrix}$$

Answer 2

Si la fuerza del interés (o el tipo de interés instantáneo) es $r(t)$ entonces la función de acumulación es $a(t)=e^{\int_0^t r(t)dt}$ .

En este caso $r(t)$ es un polinomio de tercer grado en $t$ que no se da explícitamente, sino que se define unívocamente por el hecho de que pasa por 4 puntos: (0.0499,0),(0.0533,0.25),(0.0575,0.50),(0.0653,0.75). Utilizando la fórmula de interpolación de Newton o la fórmula de interpolación de Lagrange se calcularía explícitamente lo que $r(t)$ es.

Después de integrar este polinomio se obtiene un polinomio de 4º grado, que se evalúa en t=1 y se toma la exponencial para encontrar $a(1)$

La respuesta final es $78000*(a(1)-a(0))=78000*(a(1)-1)$

Ni que decir tiene que es MUCHO cálculo, sobre todo cuando tienes que hacerlo con lápiz y papel bajo la presión del tiempo de un examen. [Si tienes acceso a un ordenador con Mathematica o un programa matemático similar, entonces es factible].