¿Cómo cambian las ponderaciones de una cartera optimizada de media-varianza cuando cambia la matriz de covarianza de los activos de riesgo?

Question

Estoy aprendiendo un poco más sobre el CAPM, y quería saber si había una forma específica en la que las ponderaciones de los activos en la cartera óptima de media-varianza cambiaban (para una aversión al riesgo, una rentabilidad esperada y una tasa libre de riesgo constantes) si la matriz de covarianza se alteraba de diferentes maneras.

Por ejemplo, para $n$ activos de riesgo hay un $n \times n$ matriz de covarianza $\Sigma$ que contiene las covarianzas de los activos en cada uno de sus índices. Así que me preguntaba qué pasaría con las ponderaciones de la cartera si "de repente" la matriz de covarianza se cambiara de tal manera que los activos de riesgo se volvieran todos independientes pero sus varianzas no cambiaran. Esto haría una nueva matriz de covarianza, $\Sigma'$ una matriz diagonal, con la misma diagonal que $\Sigma$ .

Así que sé que las ponderaciones de los activos de riesgo deben ser $w = \lambda \Sigma^{-1}(\mu - r \mathbb 1)$ . En nuestro caso vamos a hacer la aversión al riesgo, $\lambda = 1$ y el tipo libre de riesgo $r = 0$ . Así que la fórmula para cada peso individual, $w_i, i \in [1,n]$ debe ser $w_i = \sum_{k = 1}^{n} \Sigma^{-1}_{ik}\cdot\mu_k$ .

Así que en el caso de que usemos la matriz de covarianza diagonal, $\Sigma'$ Tendríamos que $w_i = \frac{\mu_i}{\text{Var}_i}$ y ahora tengo que comparar $\sum_{k = 1}^{n} \Sigma^{-1}_{ik}\cdot\mu_k$ y $\frac{\mu_i}{\text{Var}_i}$ pero como la inversa de la matriz de covarianza está en la primera ecuación, no puedo saber si los coeficientes de cada $\mu_k$ será llevado a valores menores o mayores que $\frac{\mu_i}{\text{Var}_i}$ .

Así que me preguntaba si hay una respuesta definitiva a mi pregunta (es decir, si las ponderaciones cambian necesariamente de una manera determinada), o si depende de la matriz de covarianza particular de los activos de riesgo.

Answer 1

Una representación general del modelo CAPM es sugerir que es la solución de:

$$ \min_w f(w) = \alpha \frac{1}{2}w^T(2\Sigma)w - (1-\alpha)\mu^t w $$ $$ s.t. \quad \delta^T w = 1$$

y diferentes $\alpha$ determinan diferentes puntos de la frontera eficiente.

Nótese que esta forma permite la venta en corto y la solución es de forma cerrada. La condición KKT reformulada de estacionariedad se reduce a:

$$ \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \\ \delta^T & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \\ 1 \end{bmatrix}$$

$$ \implies \begin{bmatrix} w \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \\ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \\ 1 \end{bmatrix}$$

Digamos que quieres analizar el cambio en $w$ con respecto a $\sigma_{11}$ ; $\frac{\partial w}{\partial \sigma_{11}}$ puedes aplicar el cálculo directamente:

$$ \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} w \\ \lambda \end{bmatrix} = \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \\ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \\ 1 \end{bmatrix}$$ $$ \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} w \\ \lambda \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \\ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1} \left ( \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \\ \delta^T & 0 \end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \\ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \\ 1 \end{bmatrix}$$ $$ \partial_{\sigma_{11}} \begin{bmatrix} w \\ \lambda \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \\ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\alpha & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \alpha \Sigma & \delta \\ \delta^T & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} (1-\alpha) \mu \\ 1 \end{bmatrix}$$

En el caso de las ventas en corto no permitidas, la optimización no tiene una forma cerrada, por lo que requiere un solucionador de optimización y las derivadas deben calcularse numéricamente también, supongo.

editado

Para responder a la pregunta concreta, permítanme reformularla:

Supongamos que se tiene una matriz de covarianza diagonal y un vector de retornos, que da lugar a un conjunto específico de pesos como solución de la optimización de la media-varianza.

Consideremos ahora el alcance del conjunto de todas las demás matrices posibles que tienen la misma diagonal pero se permite que otros elementos no diagonales cambien pero que sigan dando como resultado una nueva matriz de covarianza válida.

Este conjunto de nuevos vectores de pesos potenciales (como una nueva solución) espero que sea bastante variado, tanto que la diferencia entre el vector de pesos base y cualquier nuevo vector de pesos depende completamente del cambio en la matriz de covarianza (como tú dices).

Esto también se desprende del cálculo que afirma que el cambio en el vector de pesos depende completamente de la composición de la matriz de covarianza, y también del vector de rendimientos.