Me puse a despotricar más abajo, pero en realidad esta es una pregunta con trampa.
Si el tiempo hasta el vencimiento del bono es de 3 años, si su rendimiento actual hasta el vencimiento es del 4,5%, y si mantiene el bono hasta el vencimiento, entonces la rentabilidad anualizada del horizonte será del 4,5%, suponiendo que todos los flujos de caja provisionales puedan reinvertirse al 4,5% de rendimiento . Si los flujos de caja no pueden reinvertirse al 4,5%, la rentabilidad del periodo de tenencia se alejará un poco del 4,5%.
Dado que la posición se mantiene hasta el vencimiento, el cambio instantáneo de 100 puntos básicos en el rendimiento es irrelevante, ya que cualquier pérdida/ganancia no realizada debido al cambio de rendimiento se compensará posteriormente. Consideremos el escenario más sencillo de un bono de cupón cero que no tiene pagos de cupón y sólo un pago de capital en la fecha de vencimiento. Si el rendimiento aumenta sustancialmente, puede encontrar una pérdida no realizada sustancial inicialmente. Pero al vencimiento, si el bono no entra en mora, seguirá recuperando la totalidad del principal, y esa es la única cantidad relevante para calcular la rentabilidad total durante este periodo de tiempo.
Sin embargo, la pregunta utiliza una "duración Macauley" de 3. El único caso en el que la duración mac es igual al tiempo hasta el vencimiento es para los bonos de cupón cero y cuando los rendimientos se componen continuamente. En los demás casos, esta rentabilidad anualizada del 4,5% es una aproximación más.
Así que la aproximación viene de dos frentes: 1) los flujos de caja pueden no reinvertirse al 4,5%, y 2) el tiempo hasta el vencimiento puede no ser el mismo que la duración del mac.
El despotrique original está abajo:
En mi opinión, ésta es una pregunta extremadamente engañosa.
En primer lugar, la duración de Macauley como concepto tiene valor histórico, pero prácticamente ningún valor en las aplicaciones prácticas. En cambio, la duración modificada describe la variación porcentual del precio para una pequeña variación del rendimiento. La duración modificada puede calcularse fácilmente a partir de la duración Macauley y el rendimiento al vencimiento: $$ \text{modified duration} = \frac{\text{Macauley duration}}{1 + \text{yield} / \text{compounding frequency}}. $$ En este caso, asumiendo que la frecuencia de composición es semestral (como es el caso de prácticamente todos los bonos emitidos en EE.UU.), entonces la duración modificada es $$ D_\text{mod} = \frac{3.0}{1 + 4.5\% / 2} = 2.93 $$ . Por lo tanto, si el rendimiento cambia en 100 puntos básicos, la aproximación lineal del cambio porcentual en el precio del bono debería ser del 2,93%, y no del 4,5% aproximadamente ni del 3%.
En cuanto a lo de "aproximadamente", es porque el precio de los bonos no es una función lineal del rendimiento, sino una función convexa. Una mejor aproximación requiere "convexidad":
$$ \text{percentage change in price} = -\text{mod duration}\times \Delta y + \frac{1}{2} \times \text{convexity} \times (\Delta y)^2. $$
