Cómo entender la distribución lognormal en el siguiente caso

Question

Tengo una pregunta y su correspondiente solución, pero tengo algunas dificultades para entender la parte de la distribución lognormal, así que te agradezco mucho tu consejo:

Pregunta: suponga un tipo de interés cero y una acción con precio actual de 1 dólar que no paga dividendos. Cuando el precio alcanza el nivel H(H>0) por primera vez, usted puede ejercer la opción y recibir 1 dólar. ¿Qué valor tiene esta opción para usted hoy?

Solución: dado que el precio de las acciones sigue un movimiento browniano geométrico bajo una medida neutral de riesgo $dS = rSdt+SdW(t)$ . Dado que r=0, $dS = SdW(t)$ Así que $d(lnS)=-0.5*^2dt+dW(t)$ Cuando t=0, tenemos $S_0=1,ln(S_0)=0$ . Obsérvese que S es una martingala bajo la medida de riesgo neutro, pero $lnS$ tiene una deriva negativa.

Esta es mi primera duda: si entiendo bien, la razón por la que $dlnS$ tiene una deriva negativa mientras que $dS$ no tiene es porque: dlnS es la tasa continuamente compuesta del precio de las acciones, debido a la característica continuamente compuesta, tiene en cuenta la volatilidad (o desviación estándar), por lo que su deriva real debe ser restado por este componente de la volatilidad, me pregunto si mi entendimiento es correcto?

(continuación de la solución) La razón es que $lnS$ sigue una distribución normal, pero $S$ sigue una distribución lognormal, que está sesgada positivamente. Como $T$ se acerca al infinito positivo, aunque el valor esperado de $S_T$ es 1, la probabilidad de que $S_T>=1$ en realidad se acerca a 0. Esta es mi segunda duda: ¿cómo sabemos la probabilidad de que $S_T>=1$ ¿se acerca realmente a 0?

Answer 1

La deriva de $\mathrm{d}\ln(S_t)$ es de hecho $r-\frac{1}{2}\sigma^2$ que siempre es negativo si $r=0$ . El extra $-\frac{1}{2}\sigma^2$ tiene muchas explicaciones. Podría verse como una corrección de convexidad (véase la desigualdad de Jensen) o una corrección de martingala. Sin ella, $(S_t)$ no sería una martingala.

En cuanto a la segunda parte, hay que tener en cuenta que $\ln(S_T)\sim N\left(\ln(S_0)-\frac{1}{2}\sigma^2T,\sigma^2 T\right)$ . Entonces, para $Z\sim N(0,1)$ , \begin{align*} \mathbb{Q}\left[ \{S_T\geq1\}\right] &= \mathbb{Q}\left[ \{\ln(S_T)\geq0\}\right] \\ &= \mathbb{Q}\left[ \left\{\ln(S_0)-\frac{1}{2}\sigma^2T+\sigma\sqrt{T}Z\geq0\right\}\right] \\ &= \mathbb{Q}\left[ \left\{Z\geq \frac{-\ln(S_0)+\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}\right\}\right] \\ &= 1- \Phi\left(-\frac{\ln(S_0)-\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}\right) \\ &= \Phi\left(\frac{\ln(S_0)-\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}\right). \end{align*} Debe tener en cuenta que este es el mismo término que $\Phi(d_2)$ en la fórmula de Black Scholes para $K=1$ y $r=0$ . Así, \begin{align*} \lim_{T\to\infty} \mathbb{Q}[\{S_T\geq1\}] = 0. \end{align*} Esto tiene sentido. Dado que los rendimientos tienen una deriva negativa, se espera que el precio de las acciones disminuya con el tiempo. Por lo tanto, la probabilidad de $S_T$ siendo mayor que cualquier constante positiva $\varepsilon>0$ tiende a cero a medida que $T\to\infty$ .

Answer 2

Una forma rápida es utilizar la siguiente propiedad de la B.M: $\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{W_t}{t} = 0$ a.s.

El logaritmo de la solución de la SDE de Black-Scholes (cuando $r=0$ ) es $\ln S_t = - \frac{\sigma^2}{2}t + \sigma W_t.$ Por lo tanto, $$\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\ln S_t}{t} = \lim_{t \rightarrow \infty} - \frac{\sigma^2}{2} \frac{t}{t} + \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\sigma W_t}{t} = - \frac{\sigma^2}{2}. \text{ a.s. }$$ Así, $\lim_{t \rightarrow \infty} S_t = \lim_{t \rightarrow \infty} e^{- \frac{\sigma^2}{2}t} = 0$ a.s., lo que implica el resultado requerido.

Edición basada en los comentarios:

Tenemos el proceso estocástico $\{S_t(\omega) \}_{t \geq 0}$ en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr{F}, \{ \mathscr{F}_t^S \}_{t \geq 0}, P)$ donde $\{ \mathscr{F}_t^S \}_{t \geq 0}$ es la filtración generada por $\{S_t(\omega)\}_{t \geq 0}$ y $\mathscr{F} = \sigma(\cap_{t \geq 0}\mathscr{F}_t^S).$ Por cada $t,$ $S_t(\omega)$ es una variable aleatoria. Cuando escribimos en corto $\{ S_t = 0 \},$ nos referimos a $\{\omega \in \Omega: S_t(\omega)=0 \}.$ De la misma manera, $P( S_t = 0)$ es la forma corta de escribir $P(\{ \omega \in \Omega: S_t(\omega)=0 \ \}).$ El conjunto $\{\omega \in \Omega: S_t(\omega)=0 \}$ pertenece a $\ \mathscr{F}_t \subset \mathscr{F}$ y tiene asociada una probabilidad (ya que $P:\mathscr{F} \rightarrow [0,1]$ ). Por definición (véase el apartado "Definición formal" aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_surely )

Un evento $E \in \mathscr{F}$ ocurre casi con toda seguridad si $P(E)=1.$

En nuestro caso el evento es $\{\omega \in \Omega: \lim_{t \rightarrow \infty} S_t(\omega) = 0 \}.$ Por lo tanto, para decir $\lim_{t \rightarrow \infty} S_t = 0$ .a.s. es exactamente lo mismo que $P(\{\lim_{t \rightarrow \infty} S_t = 0\})=1$ . Entonces, obviamente, tenemos que $P(\{\lim_{t \rightarrow \infty} S_t \geq 1 \})=0.$ En mi opinión, esto es lo que pide el ejercicio. Sin embargo creo que la otra respuesta es perfectamente correcta porque la función de distribución acumulativa de una v.r. log-normal es continua y podemos "pasar el límite dentro de la función de probabilidad".