Derivaciones de la balanza comercial

Question

Me encuentro con algunos problemas para derivar las dos ecuaciones de la balanza comercial (de las que se deriva que la balanza comercial es nula dentro de cada país) en el artículo "A SIMPLE FRAMEWORK FOR INTERNATIONAL MONETARY POLICY ANALYSIS" (2002) que puedes encontrar aquí . Mi objetivo es derivar las ecuaciones 28 y 29 de ese documento. Para ello, he utilizado las siguientes ecuaciones:

En primer lugar, he intentado sustituir el valor de dada por la ecuación 7a en la ecuación 25, pero lo que obtuve no era correcto:

Luego traté de obtener el valor de de la ecuación 25 y sustituirla en la ecuación 7, pero esto tampoco era correcto:

También intenté sustituir la gamma, pero los resultados no fueron correctos. No se me ocurre nada más. ¿Cómo lo haría?

Las ecuaciones que estoy buscando:

Ecuación 28:

Ecuación 29:

Answer 1

Dividiendo la ecuación 25 entre $\gamma$ da: $$ Y_t = C_h + \frac{\gamma}{1-\gamma} C_h^\ast. $$ A continuación, utilizando 7 y 7a para sustituir $C_h$ y $C_h^\ast$ obtenemos: $$ Y_t = (1-\gamma) \frac{P_t}{P_h} C_t + \frac{\gamma}{1-\gamma}(1-\gamma) \frac{P_t^\ast}{P_h^\ast} C_t^\ast. $$ A continuación, multiplique ambos lados por $P_h$ y utilizar $C_t^\ast = C_t$ para conseguirlo: $$ \begin{align*} P_h Y_t &= (1-\gamma)P_t C_t + \gamma \left(\frac{P_t^\ast}{P_t}\frac{P_h}{P_h^\ast}\right) P_t C_t,\\ &= P_t C_t \left(1- \gamma + \gamma \left(\frac{P_t^\ast}{P_t}\frac{P_h}{P_h^\ast}\right)\right) \end{align*} $$ Esto es igual a la ecuación 28 si: $$ \frac{P_t^\ast}{P_t} \frac{P_h}{P_h^\ast} = 1. $$ Ahora $\dfrac{P_t^\ast}{P_t} = \dfrac{1}{\varepsilon}$ , lo que requeriría que: $$ \frac{P_h}{P_h^\ast} = \varepsilon. $$

Dividiendo 7 entre 7a se obtiene: $$ \frac{P_h}{P_h^\ast} \frac{C_h}{C_h^\ast} = \frac{P_t}{P_t^\ast} = \varepsilon. $$ Esto significa que $C_h$ tiene que ser igual a $C_h^\ast$ . No sé si esto tiene sentido (ya que no conozco el significado de todas estas variables).

Del mismo modo, se puede demostrar que 29 se satisface si $C_f = C_f^\ast$ .