Derivando el CAPM de la CML

Question

En el documento "A Simple Derivation of the Capital Asset Pricing Model from the Capital Market Line" los autores argumentan:

Dada la CML

$$R_p = R_f +\frac{R_m - R_f}{\sigma_m}\sigma_p$$

donde:

• $R_p$ es el rendimiento de una cartera eficiente
• $R_f$ es la tasa libre de riesgo
• $R_m$ es el rendimiento de la cartera de mercado
• $\sigma_m$ es la desviación estándar de los rendimientos de la cartera de mercado
• $\sigma_p$ es la desviación estándar de los rendimientos de la cartera eficiente p.

Afirman que:

Las carteras eficientes a lo largo de la CML están perfectamente correlacionadas con la cartera de mercado.

Basándose en esta afirmación, pueden extender la ecuación de la CML mediante la multiplicación por $1 = \rho_{pm}$, es decir, la correlación entre la cartera eficiente P y la cartera de mercado, para definir el rendimiento de cualquier cartera como una función de su riesgo total:

$$ R_p = R_f +\frac{R_m - R_f}{\sigma_m}\sigma_p\rho_{pm} $$

A partir de esto se obtiene inmediatamente la fórmula del CAPM.

Ahora tengo dos preguntas:

1. La afirmación de que todas las carteras eficientes están perfectamente correlacionadas parece incorrecta, ya que solo mantener el activo libre de riesgo es una cartera eficiente. El activo libre de riesgo no está correlacionado en absoluto con la cartera de mercado. ¿Entonces esta afirmación no puede ser correcta? ¿Realmente hay un error en el documento? ¿Dónde está mi malentendido aquí?
2. Si el enfoque simple anterior no funciona, ¿es la idea en general recuperable, y se puede derivar el CAPM a partir de la CML?

Answer 1

1. La afirmación de que todas las carteras eficientes están perfectamente correlacionadas parece incorrecta, ya que solo mantener el activo libre de riesgo es una cartera eficiente. El activo libre de riesgo no está correlacionado en absoluto con la cartera de mercado. ¿Entonces esta afirmación no puede ser correcta? ¿Realmente hay un error en el documento? ¿Dónde está mi malentendido aquí?

La afirmación es correcta. Todas las carteras eficientes están perfectamente correlacionadas. Ya que todas las carteras eficientes son una combinación de activos libres de riesgo y la cartera de tangencia/mercado. Tu ejemplo es un caso extremo (donde uno solo mantiene el activo libre de riesgo). Bajo preferencias de Varianza Media estándar, solo estarías en una cartera así si tu aversión al riesgo es infinita. Así que ignorando esa solución extrema, todas las carteras eficientes están de hecho perfectamente correlacionadas. Piensa en una cartera que tiene $100\% - \epsilon$ invertido en el libre de riesgo y $\epsilon$ invertido en el mercado con $\epsilon$ siendo muy pequeño. Incluso esa cartera estaría perfectamente correlacionada con el mercado.

2. Si el enfoque simple anterior no funciona, ¿es la idea en general rescatable, y se puede derivar el CAPM de la LAC?

¡Sí funciona!

Answer 2

¡Uf! CAPM es una basura; pero ninguna de las afirmaciones anteriores es una pregunta inconsistente sobre la basura consistente del mundo en el que eligen residir ;-)

Todos los portafolios en la LAC son de hecho 100% correlacionados con el mercado, mezclando efectivo con el mercado, encontrándose en el portafolio de tangencia. Muy diferente decir que todos los portafolios a lo largo de la frontera eficiente están correlacionados así, ni mucho menos en absoluto correlacionados. Manzanas contra naranjas, aquí. LAC de línea recta versus tangencia curva...

CAPM puede efectivamente derivarse de la LAC... SI, un gran SI, con una cereza encima y una bomba atómica en el glaseado debajo, la LAC ha sido predefinida para ti. Ausente eso, estás haciendo conjeturas sobre datos aleatorios usando un modelo que más a menudo está equivocado que en lo correcto ;-)

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mis mejores deseos, DEM

Answer 3

Este es un trabajo terrible.

$\rho_{pm}=1$ es trivialmente cierto, en un CAPM con activo libre de riesgo, para todas las carteras eficientes en la LAC (combinaciones del activo libre de riesgo y la cartera de mercado) (excepto, como señalas, para la propia cartera libre de riesgo, pero ese caso especial puede ser descartado trivialmente).

Por lo tanto, sí, puedes multiplicar con $\rho_{pm}=1$ para carteras que estén en esa línea.

Sin embargo, el autor luego afirma (implícitamente) que la ecuación también se cumple para otras carteras, no eficientes, lo que plantea la pregunta. Sí, la ecuación CAPM efectivamente se cumple para esas otras carteras, no eficientes, pero solo si incluyes el $\rho_{pm}$, que ahora ya no es $=1$. Por lo tanto, la justificación original para incluirlo ya no es válida.

Esto es como decir: Ahora voy a derivar la ley de Ohm. Sabemos que $V=I$ en el caso especial que R sea igual a $1$ (ignora las unidades..). Así que puedo multiplicar el lado derecho con R, ya que R es igual a 1. Por lo tanto, tenemos $V=RI$. Ahora realizo algunas operaciones algebraicas complicadas, $V/I = R$, invierto, $I/V=1/R$, $I=V/R$, y boom, hey presto, he derivado la ley de Ohm.