Hola chicos, Traté de seguir el capítulo de PWIQF sobre el modelo binomial y me quedé atascado cuando derivó el Black-Scholes (por favor, vea la imagen). Intenté retroceder en dichas ecuaciones pero no pude rastrear la derivación. Traté de ver la derivación de Hull y es totalmente diferente, ya que utilizó la ecuación de la distribución binomial en lugar del enfoque del árbol binomial de Wilmott. ¿Puede alguien ser tan amable y mostrar cómo pasar del árbol binomial discreto al black-scholes? Estoy familiarizado con las series de taylor pero no sé a qué ecuaciones se aplica en el camino. ¡Gracias de antemano!
Respuesta
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knodi
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Anteriormente en el capítulo, Wilmott deriva la ecuación
$$V = \frac{V^+ - V^-}{u-v} + \frac{uV^- - vV^+}{\left(1 + r\delta t\right)\left(u - v\right)}$$
del argumento del no arbitraje $\delta\Pi = r\Pi\delta t$ , donde $\Pi = V - \Delta S$ .
Si a continuación se utilizan las expansiones para $u$ y $v$ ,
$$u \approx 1 + \sigma\sqrt{\delta t} + \frac{1}{2}\sigma^2\delta t \\ v \approx 1 - \sigma\sqrt{\delta t} + \frac{1}{2}\sigma^2\delta t$$
y ampliar $V^+$ y $V^-$ utilizando las expansiones de la serie de Taylor, se obtiene la ecuación de Black-Scholes (de primer orden en $\delta t$ ). La expansión para $V^+$ parece (de nuevo a primer orden en $\delta t$ )
$$V^+ = V\left(uS, t + \delta t\right) \approx V\left(S, t\right) + \sigma S\sqrt{\delta t} + \frac{1}{2}\sigma^2S\frac{\partial V}{\partial S}\delta t + \frac{\partial V}{\partial t}\delta t + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\delta t.$$
La ampliación para $V^-$ es similar.
