¿Por qué la exogeneidad del instrumento implica una media condicional cero?

Question

En la siguiente diapositiva ECON4150 - Introductory Econometrics Lecture 16: Variables instrumentales, Monique de Haan

dice que "la exogeneidad del instrumento implica $E[u_i \mid Z_i]=0$ "donde la exogeneidad del instrumento se define en la diapositiva 13 como $cov(Z_i, u_i) =0$ . Aquí $Z_i$ es el instrumento y $u_i$ es el término de error en el modelo estructural con una sola variable endógena.

¿Puede alguien demostrarme por qué esto es cierto? Pensaba que la implicación sólo se daba en el otro sentido, es decir, $E[u_i \mid Z_i] = 0$ implica $cov(Z_i, u_i)=0$ pero las diapositivas sugieren que $cov(Z_i, u_i)=0$ implica $E[u_i \mid Z_i] = 0$ ¿que no es cierto en general?

Answer 1

No, tienes razón, $Cov[Z_i,u_i]=0$ no implica $E[u_i|Z_i]=0$ en general. Si el autor definió la "exogeneidad del instrumento" como $Cov(Z_i,u_i)=0$ previamente, está siendo descuidado aquí.

La "exogeneidad del instrumento" suele definirse como $E[u_i|Z_i]=0$ también, en cuyo caso bastaría con entender "implica" como "significa". Pero como la exogeneidad se define como descorrelación (covarianza nula), hay que abordar esta cuestión. será mejor que el autor lo arregle en una versión posterior. ¿Qué tal "La exogeneidad instrumental suele significar..." en lugar de "La exogeneidad instrumental implica..."?