Cálculo de la huelga delta de 0,50

Question

Según la mayoría de los libros, la opción ATM es la opción con un delta de 0,50. Sin embargo, esto sólo es así cuando la distribución es normal. Cuanto más asimétrica sea la distribución, más fuera del dinero estará la opción con delta de 0,50 (para las opciones de compra). De acuerdo con lo siguiente artículo La fórmula para calcular el strike de la opción delta de 0,50 es igual a

S x e^(^2/2)

Quiero saber por qué es exactamente así. Mirando la definición delta que tengo:

delta = N(d1) = 0.50

Por lo tanto,

d1 = 0

Y

Entonces, ¿cómo pasar de esta fórmula conocida a la fórmula mencionada? Gracias de antemano,

Answer 1

El delta que mencionas es el delta de Black-Scholes. Si dejas que $r=0$ , $T=1$ y resolver la ecuación $d_1=0$ , se obtiene lo que está en el artículo.

Answer 2

Como señala en su fórmula d1:

$$d_1 = \frac{ln \left( \frac{S}{K} \right)+\left(r+0.5\sigma^2 \right)T}{\sigma \sqrt{T}} $$

Por lo tanto, $N(d_1)$ (donde $N(.)$ representa la CDF normalizada) sólo es igual a la mitad cuando $d_1$ es exactamente cero. Cuando una opción es ATM, entonces $S=Ke^{-rT}$ . Así que $N(d_1)$ no será exactamente 0,5, porque

$$d_1 = 0.5\sigma\sqrt(T)$$

Para las opciones de corta duración, $N(d_1)$ de lo anterior será cercano a 0,5, mientras que para las opciones de mayor plazo (como las de vencimiento a 10 años) será superior a 0,5.

Efectivamente, si se pone: $S=Ke^\left(-0.5\sigma^2T-rT \right)$ , establecerá $d_1$ a cero.

La gente que dice eso:

(i) $N(d_1)$ para las opciones ATM es exactamente la mitad

(ii) La opción ATM tiene $N(d_2)$ igual a la mitad porque $N(d_2)$ es la probabilidad de que la opción termine en el dinero

Son (según mi experiencia) en su mayoría operadores de opciones que carecen de los conocimientos técnicos necesarios para entender cómo funciona la fijación de precios de las opciones. $N(d_2)$ es el riesgo neutro probabilidad, por lo que no tiene nada que ver con la "probabilidad" o la "probabilidad del mundo real", tal y como a los humanos nos gusta interpretar la probabilidad. La probabilidad "neutral al riesgo" es una construcción matemática inventada para valorar las opciones.