Precios de $(S(T_0)-S(T))^+$

Question

Problema : Considere una nueva derivada que en el momento $T$ paga $Y =(S(T_0) S(T))^+$

donde $0 < T_0 < T$ es una fecha fija.

(i) Demuestre que el arbitraje libre de Y en el tiempo $t = T_0$ viene dada por $\pi_{T_0} (Y ) =pS(T_0)$ donde p es independiente del precio de las acciones.

(ii) Determinar el precio libre de arbitraje del derivado $Y$ en el momento $t < T_0$ .

Para valorar el contrato utilizaría la solución PDE de Black-Scholes $E^{Q}((S(T_0) S(T))^+|\mathscr{F}_{T_{0}})=E^{Q}((S(T_0) S(T)) \:1_{S(T_0\geqslant S(T))}|\mathscr{F}_{T_{0}})$

Sé que $S(T_0)-S(T)$ es independiente de $\mathscr{F}_{T_0}$ . Pero no es independiente de $1_{S(T_0\geqslant S(T))}$ , por lo que no puedo dividirlos en dos valores esperados. Incluso si lo hiciera, no obtendría el resultado. Intenté resolver utilizando la forma exponencial de S(T) pero no conseguí nada.

Pensé que cuando $t=T_0$ entonces $Y$ es una opción de venta que implica que $E^{Q}((S(T_0) S(T))^+|\mathscr{F}_{T_{0}})=S(T_0)(e^{T-T_0}\Phi(-d_2)-\Phi(-d_1))$ donde d_2 y d_1 no dependen del stock.

Pregunta:

¿Es correcta mi solución?

¿Cómo resuelvo la segunda pregunta cuando $t<T_0$ ? Creo que no puedo utilizar un resultado predefinido.

Gracias de antemano.

Answer 1

En el momento $T_0$ El precio de ejercicio se conoce y la opción se convierte en una opción de venta ``normal'', es decir. \begin{align*} V(T_0,S_{T_0}) &= S_{T_0}e^{-r(T-T_0)}\Phi(-d_2)-S_{T_0}e^{-q(T-T_0)}\Phi(-d_1) \\ &= S_{T_0}\underbrace{\left(e^{-r(T-T_0)}\Phi(-d_2)-e^{-q(T-T_0)}\Phi(-d_1)\right),}_{=:p} \end{align*} donde $p$ es efectivamente independiente del precio de las acciones porque \begin{align*} d_{1,2}=\frac{r-q\pm\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma}\sqrt{T-T_0}. \end{align*}

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En general, para $t> T_0$ la fórmula de Black-Scholes es \begin{align*} V(t,S_t) &= S_{T_0}e^{-r(T-t)}\Phi(-d_2)-S_te^{-q(T-t)}\Phi(-d_1), \end{align*} donde \begin{align*} d_{1,2}=\frac{\ln\left(\frac{S_t}{S_{T_0}}\right)+\left(r-q\pm\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}. \end{align*} Por supuesto, $\lim\limits_{t\downarrow T_0}V(t,S_t)=S_{T_0}p$ .

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Para $t<T_0$ el valor de la opción es \begin{align*} V(t,S_t)&=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[\max\{S_{T_0}-S_T,0\}\right] \\ &=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[\mathbb{E}^\mathbb{Q}_{T_0}\left[\max\{S_{T_0}-S_T,0\}\right]\right] \\ &=e^{-r(T_0-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[e^{-r(T-T_0)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_{T_0}\left[\max\{S_{T_0}-S_T,0\}\right]\right]\\ &=e^{-r(T_0-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[S_{T_0}p\right] \\ &=pe^{-r(T_0-t)}S_te^{(r-q)(T_0-t)} \\ &=S_te^{-q(T_0-t)}\left(e^{-r(T-T_0)}\Phi(-d_2)-e^{-q(T-T_0)}\Phi(-d_1)\right). \end{align*} Por supuesto, $\lim\limits_{t\uparrow T_0}V(t,S_t)=S_{T_0}p$ .