¿Cómo tratar los términos de intercepción negativos en el modelo GJR-GARCH(1,1)?

Question

Recientemente, he estudiado la relación entre el COVID-19 y los rendimientos de las acciones utilizando una forma GJR del modelo ARCH de umbral. Sin embargo, obtuve algunos resultados de estimación inusuales que no puedo entender si están bien o no. El modelo que he estimado está escrito abajo:

En la ecuación, D1 es 0 antes de la pandemia y 1 durante la pandemia. He utilizado el siguiente comando en STATA para obtener el resultado:

arch djones covid19, arch(1/1) tarch(1/1) garch(1/1) het(covid19) 

Los resultados de la estimación de los modelos anteriores muestran términos de intercepción negativos, en la ecuación de la volatilidad (-2,97). Sin embargo, el intercepto estimado es significativo al 1%. A continuación se muestran los resultados completos:

Además, en el caso del S&P500, la suma de alfa1 y beta1 también sería negativa pero significativa.

Sin embargo, cuando elimino el término ficticio y me centro en el modelo GARCH(1,1) en la ecuación escrita anteriormente, el problema se resuelve en su mayor parte. Pero no podré estudiar los impactos de COVID-19 en los rendimientos de las acciones. También comprobé el AIC y el BIC y descubrí que el modelo GJR-GARCH tiene un BIC más bajo que el del modelo GARCH estándar.

Mi pregunta es cómo tratar este tipo de problemas. ¿Puede el término de intercepción negativo seguir siendo válido si es significativo? o

1. ¿Ignoro el intercepto de la ecuación de la volatilidad?
2. ¿Debo realizar dos modelos GARCH por separado: uno para antes de la pandemia y otro durante la misma?

Le agradecería que me diera alguna información al respecto.

Gracias.

Answer 1

Mi respuesta se basa en el hecho de que las ecuaciones anteriores se corresponden con el código y la salida de STATA proporcionados. Por lo tanto, hago caso omiso de mis propias preguntas en los comentarios debajo de la entrada.

Considere la posibilidad de acotar sus parámetros GJR-GARCH:

Es necesario acotar los parámetros para garantizar la positividad (estimaciones positivas) y la estacionariedad de la covarianza . Prescindiré de la dinámica media y me centraré en el modelo de tipo GJR-GARCH.

Definamos vagamente el modelo GJR-GARCH-X(1,1) que es una versión simplificada del modelo visto en la ecuación (3) ( la "X" implica que el modelo contiene insumos exógenos, es decir. $\lambda D_1$ ): \begin{align*} r_t \vert \mathcal{F}_{t-1} &= \mu + \varepsilon_t\\ \varepsilon_t &= \sigma_t \cdot z_t\\ \sigma^2_t &= \alpha_0 + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 + \gamma I_{t-1} \varepsilon_{t-1}^2 + \lambda D_1, \end{align*} donde $z_t \overset{iid}{\sim} D(0,1)$ ( que en su caso es la distribución gaussiana ),

$$I_{t-1} =\begin{cases} 1 & \text{if } \varepsilon_{t-1} < 0 \\ 0 & \text{if } \varepsilon_{t-1} \geq 0 \end{cases}$$

y $D_1$ es una función indicadora que especifica el momento de la pandemia covídica ( esto está vagamente especificado en su pregunta ).

Cuando tenemos un término de intercepción negativo, $\alpha_0 <0$ necesitamos $\alpha_1 + \beta + \gamma + \lambda > -\alpha_0$ para asegurar la positividad, que en su escenario $0.2489 + 0.8655 - 0.3069 + 1.875\not> 2.97$ está claramente insatisfecho. Si derivamos la varianza incondicional del modelo tipo GJR-GARCH-X:

$$ \mathbb{V}ar(r_t) := \sigma^2 = \frac{\alpha_0 + \lambda \cdot \rho}{1 - (\alpha_1 + \beta + \gamma \kappa)} $$

donde $\rho = \mathbb{E}\left[D_1\right] = \text{"}\mathbb{P}(\text{pandemic})\text{"}$ y $\kappa = \mathbb{E}\left[I_{t-1} z_{t-1}^2\right] = \mathbb{P}(z_{t-1}<0)$ ( es 0,5 para distribuciones simétricas ), entonces para ambos $\kappa$ y $\rho \in [0,1]$ sus estimaciones arrojan valores negativos para la varianza incondicional cuando $\alpha_0 = -2.97$ y $\lambda = 1.875$ .

En conclusión, sus estimaciones anteriores también violan la varianza incondicional . Por lo tanto, usted necesita para limitar sus parámetros como también se detalla en una de mis respuestas anteriores se encuentra aquí . Es necesario dejar que $\alpha_0 + \lambda\cdot \rho > 0$ y $0<\alpha_1 + \beta + \gamma \kappa<1$ para garantizar la estacionariedad de la covarianza.

Imponiendo más $\beta, \alpha_1, \alpha_0>0$ , $\alpha_0 + \lambda > 0$ y $\alpha_1 + \gamma >0 $ permite $\lambda$ y $\gamma$ para convertirse en negativo ( es decir, variar más libremente ). Esta es una afirmación más amplia que, por ejemplo, imponer $\alpha_1, \gamma > 0$ y restricciones de positividad en ambos estimadores en el numerador, $\alpha_0, \lambda > 0$ Por lo tanto, las estimaciones de los parámetros tienen más margen de maniobra, lo que podría ayudar al ajuste del modelo.