En el modelo de crecimiento de Solow, ¿el trabajo crece como la tecnología en el estado estacionario?

Question

El modelo de crecimiento de Solow define

$$k_t \equiv \frac{K_t}{A_t L_t}$$

Dejemos que nuestra función de producción sea Cobb Douglas

$$Y_t = K_t^\alpha (A_t L_t)^{1-\alpha}$$

Tenemos

$$A_t = A_0 e^{gt}$$ $$L_t = L_0 e^{nt}$$

Encontramos que el estado estacionario es

$$k^* = \left(\frac{s}{n+ g + \delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

En el estado estacionario, observamos

$$\frac{K_t}{L_t} = A_t k_t = A_0 e^{gt} \left(\frac{s}{n+ g + \delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

Mi pregunta

En $$\frac{K_t}{A_t} = L_t k_t = L_0 e^{nt} \left(\frac{s}{n+ g + \delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

también crecen en el estado estacionario? En varios apuntes de clase que he encontrado en Internet, nadie habla de esto, así que quería aclararlo.

Seguimiento

Pero si $\frac{K_t}{L_t}$ y $\frac{K_t}{A_t}$ ambos crecen de esta manera, entonces

$$K_t = A_0 e^{gt} L_0 e^{nt} \left(\frac{s}{n+ g + \delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

Entonces, ¿esto significa que $K_t$ es una función de estos parámetros (por ejemplo $A_0$ ) o no es una expresión económica válida?

Answer 1

En los modelos de crecimiento determinista de economías cerradas con impulsores de crecimiento constantes y exógenos (en este caso, la población y la eficiencia laboral), el estado estacionario de la economía se encuentra en "tasas de crecimiento" o, según la terminología más reciente, es una "senda de crecimiento equilibrado".

La tasa de crecimiento de la economía sólo puede ser la suma de las tasas de crecimiento de estos impulsores exógenos del crecimiento. Así, en la senda de crecimiento equilibrado, las magnitudes agregadas crecen a $n+g$ las magnitudes per cápita crecen a $g$ y las magnitudes por unidad de eficiencia del trabajo son constantes.

Esto se puede ver directamente a través de la función de producción considerando

$$Y_t = K_t^\alpha (A_t L_t)^{1-\alpha} \implies \ln Y = \alpha \ln K_t + (1-\alpha)\cdot [\ln A_t + \ln L_t]$$

$$\implies \frac {\text{d}\ln Y}{\text{d}t} = \frac {\dot Y}{Y} = \alpha \frac {\dot K}{K} + (1-\alpha)\cdot \left[\frac {\dot A}{A} + \frac {\dot L}{L}\right]$$

$$\implies \frac {\text{d}\ln Y}{\text{d}t} = \frac {\dot Y}{Y} = \alpha \frac {\dot K}{K} + (1-\alpha)\cdot (g+n)$$

Para tener una senda de crecimiento equilibrada, debemos tener tasas de crecimiento iguales y constantes (por lo tanto, ratios como $Y/K$ etc. permanecen constantes), por lo que

$$\frac {\dot Y}{Y} = \frac {\dot K}{K} = \gamma$$

$$\implies \gamma = \alpha \gamma + (1-\alpha)\cdot (g+n)$$

$$\implies \gamma = g+n$$

Nótese la importancia de los rendimientos constantes a escala, para obtener este resultado.

Answer 2

Las dos últimas ecuaciones son expresiones válidas. Esta versión del modelo supone que toda la productividad proviene de la mano de obra (porque A está unido a L en la primera ecuación). Así que L es el número de trabajadores, pero AL es el trabajo efectivo realizado por ellos. Dividiendo K entre L sólo se obtiene la productividad del capital dividida por la del trabajo.

La última ecuación también es correcta si la economía crece en estado estacionario Pero ambas son tautologías innecesarias. Lo que importa en el modelo Solow-Swan es la producción por trabajador y el capital por trabajo efectivo. Esa es sólo otra forma de ver la trayectoria del capital agregado.