Fijación de precios martingala con tasa libre de riesgo dependiente del tiempo

Question

Quiero encontrar el precio de una opción de compra europea bajo el supuesto de que la tasa libre de riesgo $r$ depende del tiempo, es decir

$$ d\beta = r(t)\beta dt \leftrightarrow \beta(T) = e^{\int_0^T r(u)du} $$

Quiero expresar el precio en términos de precios de bonos de cupón cero $P$ donde sabemos que $P(t;T) = \beta(t)/\beta(T)$ .

Acabo de aprender sobre la fijación de precios margingale, pero aquí está mi estrategia: Mi punto de partida es GBM bajo la medida de riesgo neutral $Q$ : $dS = rSdt + \sigma S dW^Q$ . Presentación de $\hat S = S/\beta(t)$ y utilizando la regla del producto de Ito encontramos

$$ d\hat S = \sigma \hat S dW^Q $$

En otras palabras, el GBM descontado es una martingala bajo $Q$ lo que a su vez significa que podemos encontrar el precio de compra como

$$ C(t) = \frac{\beta(t)}{\beta(T)}\mathbb E^Q[(S(T)-K)^+] $$

Pregunta: En el valor esperado para el cálculo de $C(t)$ ¿necesito $S(T)$ o $\hat S(T)$ ?

Answer 1

Cambio de número

El tiempo $t$ precio de un bono de cupón cero que vence en el momento $T$ es $$P(t,T)=\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[\exp\left(-\int_t^T r_s\text{d}s\right)\right].$$

Dejemos que $\mathbb{Q}$ sea nuestra medida estándar de probabilidad neutral al riesgo que utiliza una cuenta bancaria localmente libre de riesgo, $\text dB_t=r_tB_t\text dt$ , como numéraire. Desde Geman et al. (1995) Sabemos que \begin{align} \frac{\text d\mathbb Q^T}{\text d\mathbb Q}\Bigg|_{\mathcal{F}_t}=\frac{P(T,T)}{P(t,T)}\frac{B_t}{B_T}=\frac{1}{P(t,T)}\frac{B_t}{B_T}. \end{align} Entonces, el precio a plazo $\frac{S_t}{P(t,T)}$ es un $\mathbb{Q}^T$ -martingale, es decir \begin{align*} S_t = P(t,T)\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}_t[S_T]. \end{align*} Cuando los tipos de interés son deterministas, $\mathbb{Q}=\mathbb{Q}^T$ y, como siempre, $$ S_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t[S_T].$$

Para una medida de probabilidad equivalente que utilice el stock (reinvertido) como numéraire, obtenemos \begin{align} \frac{\text d\mathbb{Q}^S}{\text d\mathbb Q}\Bigg|_{\mathcal{F}_t}=\frac{S_Te^{qT}}{S_te^{qt}}\frac{B_t}{B_T}. \end{align}

Precios de las opciones

El valor inicial de una opción de compra es, por tanto, el siguiente \begin{align*} \text{Call}(S_0;K,T)&=\mathbb{E}^\mathbb{Q}_0\left[\frac{B_0}{B_T}\max\{S_T-K,0\}\right] \\ &= \mathbb{E}^\mathbb{Q}_0\left[\frac{B_0}{B_T}S_T\mathrm{1}_{\{S_T\geq K\}}\right]-K\mathbb{E}^\mathbb{Q}_0\left[\frac{B_0}{B_T}\mathrm{1}_{\{S_T\geq K\}}\right] \\ &= S_0e^{-qT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^S}_0\left[\mathrm{1}_{\{S_T\geq K\}}\right]-KP(0,T)\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^T}_0\left[\mathrm{1}_{\{S_T\geq K\}}\right] \\ &= S_0e^{-qT}\mathbb{Q}^S\left[\left\{S_T\geq K\right\}\right]-KP(0,T)\mathbb{Q}^T\left[\left\{S_T\geq K\right\}\right]. \end{align*}

Este es el Teorema 2 en Geman et al. (1995) y descompone maravillosamente los precios de las opciones en dos probabilidades de ejercicio. Nótese que no hemos hecho ninguna suposición sobre la distribución del precio de las acciones. Suponiendo tipos de interés constantes y rendimientos de las acciones distribuidos normalmente, anida la fórmula de Black y Scholes (1973).